複素数の積を極形式にすると、何が起こるの？

複素数の積・商の図形的意味では、複素数平面について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

なぜ積や商で回転や拡大縮小が見えるの？

複素数の積・商の図形的意味では、複素数平面について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

複素数の積・商の図形的意味では、複素数平面について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

複素数の積・商の図形的意味の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

$z_1 = 1 + i,\; z_2 = \sqrt{3} + i$ とするとき、次の値を求め、複素平面上に図示せよ。

(1)\quad z_1 z_2

(2)\quad \frac{z_1}{z_2}

$(1)\;$ $z_1 z_2 = \underline{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)i}$

z_1= 1.41(\cos 0.79 + i\sin 0.79)

z_2= 2(\cos 0.52 + i\sin 0.52)

z_1 z_2= 2.83(\cos 1.31 + i\sin 1.31)

$(2)\;$ $\frac{z_1}{z_2} = \underline{\frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{\sqrt{3}-1}{4}i}$

z_1= 1.41(\cos 0.79 + i\sin 0.79)

z_2= 2(\cos 0.52 + i\sin 0.52)

z_1/z_2= 0.71(\cos 0.26 + i\sin 0.26)

複素数の積と商の図形的意味について解説します。

積をとると偏角が足されるんですね。つまり回転ということですか？

その通り！ $z_2$ をかけるということは、 $|z_2|$ 倍に拡大して $\arg(z_2)$ だけ回転することなんだ。

この考え方がとても大切だよ。

$(1)\quad z_1 z_2$ を求め、複素平面上に図示せよ。

まず、 $z_1$ と $z_2$ をそれぞれ極形式で表しましょう。

z_1 = 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)

z_2 = \sqrt{3} + i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)

極形式の積の公式より、

z_1 z_2 = \sqrt{2} \cdot 2 \left\{ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \right\}

= 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12} \right)

成分で直接計算すると、

z_1 z_2 = (1+i)(\sqrt{3}+i)

= \sqrt{3} + i + \sqrt{3}i + i^2

= (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)i

よって $z_1 z_2 = \underline{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)i}$ です。

z_1= 1.41(\cos 0.79 + i\sin 0.79)

z_2= 2(\cos 0.52 + i\sin 0.52)

z_1 z_2= 2.83(\cos 1.31 + i\sin 1.31)

グラフを見てみよう。 $z_1$ に $z_2$ をかけた結果は、

絶対値が $\sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$ に拡大され、

偏角が $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$ になっているね。

$(2)\quad \frac{z_1}{z_2}$ を求め、複素平面上に図示せよ。

極形式の商の公式より、

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left\{ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \right\}

= \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right)

成分で直接計算すると、分母を有理化して

\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{\sqrt{3}+i} = \frac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}

= \frac{\sqrt{3} - i + \sqrt{3}i - i^2}{3 + 1}

= \frac{(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)i}{4}

= \underline{\frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{\sqrt{3}-1}{4}i}

z_1= 1.41(\cos 0.79 + i\sin 0.79)

z_2= 2(\cos 0.52 + i\sin 0.52)

z_1/z_2= 0.71(\cos 0.26 + i\sin 0.26)

商の場合は偏角が引かれるんですね。

そうだね。 $z_2$ で割るということは、 $\frac{1}{|z_2|}$ 倍に縮小して $-\arg(z_2)$ だけ回転（逆回転）することだよ。

このページのまとめ

ここでは複素数の積と商の図形的意味について学習しました。

積は「絶対値の積 + 偏角の和」、商は「絶対値の商 + 偏角の差」です。

この性質は複素数平面の問題全体を通して非常に重要なので、しっかり理解しておきましょう！

アプリで続ける

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。複素数の積・商の図形的意味 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。