1の$n$乗根

問題

$(1)\quad z^3 = 1$の解を全て求めよ。

$(2)\quad (1)$で求めた虚数解のうち虚部が正のものを$\omega$とするとき、$1 + \omega + \omega^2$の値を求めよ。

解説

$1$の$n$乗根について解説します。

$z^n = 1$の解が正$n$角形の頂点になるんですか？

そうだよ。偏角が$\frac{2\pi}{n}$ずつ等間隔になるから、単位円上に均等に並ぶんだ。

ド・モアブルの定理を使って解きます。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$とおくと、

これより$r^3 = 1$、$3\theta = 2k\pi$（$k$は整数）なので、

$r = 1$、$\theta = \frac{2k\pi}{3}$（$k = 0, 1, 2$）

1. $k = 0$: $z_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1$
2. $k = 1$: $z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
3. $k = 2$: $z_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

よって$z = \underline{1,\; \frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\; \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}$です。

これらを複素平面上に図示すると、単位円に内接する正三角形の頂点になります。

3つの解が単位円上に均等に配置されて正三角形を作っているのがわかるね。

$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$は$z^3 = 1$の解なので$\omega^3 = 1$が成り立ちます。

$z^3 - 1 = 0$を因数分解すると、

$\omega \neq 1$なので$\omega^2 + \omega + 1 = 0$、すなわち

$1$の$3$乗根の和が$0$になるんですね！

実は$1$の$n$乗根の和は常に$0$になるんだ。これはとても重要な性質だよ。

$1 + \omega + \omega^2 = 0$は頻出なので覚えておこう！

ここでは$1$の$n$乗根について学習しました。

$z^n = 1$の$n$個の解は複素平面上の単位円に内接する正$n$角形の頂点に対応します。

特に$1$の$3$乗根$\omega$について$1 + \omega + \omega^2 = 0$が成り立つことは非常に重要です。色々な問題で使うのでしっかり覚えてくださいね！