複素数と図形

問題

$(1)\quad$ 複素数平面上で$|z - (1 + 2i)| = 3$はどのような図形を表すか。

$(2)\quad$ 複素数平面上で$|z - 1| = |z - 3i|$はどのような図形を表すか。

$(3)\quad$ 複素数平面上で$|z - 2| = 2|z + 1|$を満たす点$z$の軌跡を求めよ。

解説

複素数と図形の関係について解説します。

$|z - \alpha|$は「点$z$と点$\alpha$の距離」を表すよ。これを意識すると、図形が見えてくるんだ。

$|z - \alpha| = r$の形です。$\alpha = 1 + 2i$, $r = 3$なので、

これは$\underline{\text{中心}\; 1 + 2i,\; \text{半径}\; 3\; \text{の円}}$を表します。

点$z$が動くとき、点$1 + 2i$からの距離が常に$3$であるような点の集合ですね。

$|z - \alpha| = |z - \beta|$の形です。これは点$z$から点$1$（実数$1$に対応する点）と点$3i$への距離が等しいということを意味します。

2点からの距離が等しい点の集合...垂直二等分線ですね！

その通り！具体的な直線の方程式も求めてみよう。

$z = x + yi$とおくと、

両辺を$2$乗すると、

よって、$\underline{2\text{点}\; 1,\; 3i\; \text{を結ぶ線分の垂直二等分線}}$（直線$x - 3y + 4 = 0$）です。

$|z - \alpha| = k|z - \beta|$（$k \neq 1$）の形なのでアポロニウスの円です。

$z = x + yi$とおくと、

両辺を$2$乗すると、

あ！平方完成したら円の方程式になりましたね！

よって、$\underline{\text{中心}\; (-2,\; 0),\; \text{半径}\; 2\; \text{の円}}$（アポロニウスの円）です。

アポロニウスの円は「$2$点からの距離の比が一定」な点の軌跡だよ。

$k = 1$の場合は垂直二等分線（直線）になるから注意してね。

ここでは複素数と図形の関係について学習しました。

$|z - \alpha|$を「距離」と捉えることで、円や直線を複素数で表現できます。

この考え方は複素数平面の問題で非常に重要なので、しっかりマスターしてくださいね！