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複素数平面

複素数の絶対値と偏角

$|z|$と$\arg(z)$

複素数平面の「複素数の絶対値と偏角」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$|z|$と$\arg(z)$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学C 約7分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

複素数の絶対値と偏角の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: ∣z∣|z|とarg⁡(z)\arg(z)
  • ポイント: 複素数平面の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の複素数の絶対値と偏角を求めよ。ただし偏角θ\thetaは0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\piとする。

(1)z=1+3i(1)\quad z = 1 + \sqrt{3}i
(2)z=−3+i(2)\quad z = -\sqrt{3} + i
(3)z=−2i(3)\quad z = -2i

答えを見る

(1)  (1)\; ∣z∣=2‾|z| = \underline{2}, arg⁡(z)=π3‾\arg(z) = \underline{\frac{\pi}{3}}

(2)  (2)\; ∣z∣=2‾|z| = \underline{2}, arg⁡(z)=5π6‾\arg(z) = \underline{\frac{5\pi}{6}}

(3)  (3)\; ∣z∣=2‾|z| = \underline{2}, arg⁡(z)=3π2‾\arg(z) = \underline{\frac{3\pi}{2}}

解説

複素数の絶対値と偏角について解説します。

まず、絶対値と偏角の定義を確認しましょう。

絶対値は複素平面上での原点からの距離なんですね。

その通り！偏角は実軸の正の方向からの回転角度だよ。複素平面上で考えるとイメージしやすいね。

(1)z=1+3i(1)\quad z = 1 + \sqrt{3}i

まず絶対値を求めます。

∣z∣=12+(3)2=1+3=4=2‾|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = \underline{2}

次に偏角を求めます。z=1+3iz = 1 + \sqrt{3}iは実部が正、虚部が正なので第11象限にあります。

cos⁡θ=12,  sin⁡θ=32\cos\theta = \frac{1}{2},\; \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}よりθ=π3‾\underline{\theta = \frac{\pi}{3}}です。

z -4-2024 -4-224
z=2(cos⁡1.05+isin⁡1.05)z= 2(\cos 1.05 + i\sin 1.05)
(2)z=−3+i(2)\quad z = -\sqrt{3} + i

絶対値は∣z∣=(−3)2+12=3+1=2‾|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \underline{2}です。

z=−3+iz = -\sqrt{3} + iは実部が負、虚部が正なので第22象限にあります。

cos⁡θ=−32,  sin⁡θ=12\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2},\; \sin\theta = \frac{1}{2}よりθ=5π6‾\underline{\theta = \frac{5\pi}{6}}です。

z -4-2024 -4-224
z=2(cos⁡2.62+isin⁡2.62)z= 2(\cos 2.62 + i\sin 2.62)
(3)z=−2i(3)\quad z = -2i

絶対値は∣z∣=02+(−2)2=2‾|z| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \underline{2}です。

z=−2iz = -2iは虚軸の負の方向なのでθ=3π2‾\underline{\theta = \frac{3\pi}{2}}です。

z -4-2024 -4-224
z=2(cos⁡−1.57+isin⁡−1.57)z= 2(\cos -1.57 + i\sin -1.57)

偏角を求めるときは、まず点がどの象限にあるかを確認しよう。

象限によってcos⁡θ\cos\thetaとsin⁡θ\sin\thetaの符号が変わるから注意してね。

象限ごとに角度の範囲を意識すればいいんですね！

このページのまとめ

ここでは複素数の絶対値と偏角について学習しました。

絶対値は∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}、偏角は複素平面上での角度です。

特殊角（π6,π4,π3\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}など）の三角比の値は覚えておくと便利ですよ！

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