期待値と分散は定数倍や足し算でどう変わるの？

確率変数の和の期待値・分散では、統計的な推測について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

独立な2つの確率変数を足すとき、分散が足せるのはなぜ？

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式変形で符号を間違えない整理の仕方を知りたい

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確率変数の和の期待値・分散の解き方 | 数学Bの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

確率変数の和の期待値・分散の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$E(X+Y)$, $V(X+Y)$の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: $E(X+Y)$ , $V(X+Y)$
ポイント: 統計的な推測の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

あるテストの得点 $X$ の期待値が $E(X)=60$ 、分散が $V(X)=100$ であるとする。また、別のテストの得点 $Y$ は $X$ と独立で、 $E(Y)=50$ 、 $V(Y)=64$ とする。

$(1)\quad$ 全員の得点を $2$ 倍して $10$ 点加える調整を行ったとき、調整後の得点 $Z=2X+10$ の期待値 $E(Z)$ と分散 $V(Z)$ を求めよ。

$(2)\quad$ $2$ つのテストの合計点 $W=X+Y$ の期待値 $E(W)$ と分散 $V(W)$ を求めよ。

$(3)\quad$ さいころを $2$ つ同時に投げるとき、出た目の和の期待値と分散を求めよ。

答えを見る

$(1)\;E(Z) = \underline{130}$ , $V(Z) = \underline{400}$

$(2)\;E(W) = \underline{110}$ , $V(W) = \underline{164}$

$(3)\;$ 期待値 $\underline{7}$ 、分散 $\underline{\frac{35}{6}}$

解説

確率変数の和や定数倍に関する期待値・分散の性質について解説します。

前回は $1$ つの確率変数に対する期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ の求め方を学びました。

今回は「定数倍して定数を足す」場合や「 $2$ つの確率変数を足す」場合に、期待値と分散がどう変わるかを学んでいきましょう。

期待値と分散って、足し算やかけ算でどう変わるんですか？

とても大事なポイントだね。まずは定数倍と定数加算の公式から確認しよう。

期待値は $a$ も $b$ もそのまま反映されるけど、分散は $a^2$ だけで $b$ は消えるんですね。なぜですか？

いい質問だね！期待値は「平均的な値」だから、全体を $a$ 倍して $b$ を足せば平均も同じように変わるよね。

一方、分散は「ばらつき」を表すから、全体に $b$ を足しても散らばり具合は変わらない。 $a$ 倍するとばらつきも $a$ 倍に広がるから、分散は $a^2$ 倍になるんだ。

直感的なイメージを持っておきましょう。テストの点数 $X$ があるとして、

全員に $10$ 点足す → 平均は $10$ 点上がるが、ばらつきは変わらない

全員の点数を $2$ 倍する → 平均も $2$ 倍、ばらつきの幅も $2$ 倍（分散は $4$ 倍）

次に、 $2$ つの確率変数の和に関する公式を確認します。

期待値の方は常に成り立つけど、分散の方は「独立」のときだけなんですね。

その通り！ここが最大のポイントだよ。

期待値は $X$ と $Y$ がどんな関係であっても $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ が成り立つんだ。

でも分散は、 $X$ と $Y$ が独立でないと $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ にはならないから注意してね。

では、問題を解いていきましょう。

あるテストの得点 $X$ の期待値が $E(X)=60$ 、分散が $V(X)=100$ であるとする。

$(1)\quad$ 全員の得点を $2$ 倍して $10$ 点加える調整を行ったとき、調整後の得点 $Z=2X+10$ の期待値 $E(Z)$ と分散 $V(Z)$ を求めよ。

調整後の得点 $Z = 2X + 10$ は、 $a = 2$ 、 $b = 10$ の線形変換ですね。

公式に当てはめていきましょう。

期待値は、

E(Z) = E(2X + 10)

= 2E(X) + 10

= 2 \times 60 + 10

= \underline{130}

分散は、

V(Z) = V(2X + 10)

= 2^2 \cdot V(X)

= 4 \times 100

= \underline{400}

分散が $100$ から $400$ に増えました！ $+10$ の部分は関係ないんですね。

そうだね。点数を $2$ 倍したから、ばらつきの幅も $2$ 倍になり、分散は $2^2 = 4$ 倍になったんだ。

$+10$ はみんなの点数を同じだけ動かしただけだから、ばらつきには影響しないよ。

$(2)\quad$ $2$ つのテストの合計点 $W=X+Y$ の期待値 $E(W)$ と分散 $V(W)$ を求めよ。

ただし $X$ と $Y$ は独立で、 $E(X)=60$ , $V(X)=100$ , $E(Y)=50$ , $V(Y)=64$ とする。

$X$ と $Y$ は独立なので、期待値・分散ともに和の公式が使えます。

期待値は、

E(W) = E(X + Y)

= E(X) + E(Y)

= 60 + 50

= \underline{110}

分散は、 $X$ と $Y$ が独立なので、

V(W) = V(X + Y)

= V(X) + V(Y)

= 100 + 64

= \underline{164}

合計点の期待値は各テストの期待値の和、分散も各テストの分散の和になるんですね！

ただし、分散の方は $X$ と $Y$ が独立だから成り立っていることを忘れないでね。

もし $2$ つのテストの成績に関連があったら（例：国語と英語など）、分散の公式は変わってくるよ。

$(3)\quad$ さいころを $2$ つ同時に投げるとき、出た目の和の期待値と分散を求めよ。

$1$ つ目のさいころの目を $X_1$ 、 $2$ つ目のさいころの目を $X_2$ とします。

さいころの出た目については、前回の内容から

$E(X_1) = E(X_2) = \frac{7}{2}$ 、 $V(X_1) = V(X_2) = \frac{35}{12}$

であることがわかっています。

$2$ つのさいころは互いに独立なので、出た目の和 $S = X_1 + X_2$ について、

期待値は、

E(S) = E(X_1 + X_2)

= E(X_1) + E(X_2)

= \frac{7}{2} + \frac{7}{2}

= \underline{7}

分散は、 $X_1$ と $X_2$ が独立なので、

V(S) = V(X_1 + X_2)

= V(X_1) + V(X_2)

= \frac{35}{12} + \frac{35}{12}

= \underline{\frac{35}{6}}

さいころ $2$ つの目の和の期待値が $7$ というのは、すごろくとかでよく聞く数字ですね！

そうだね！ $2$ つのさいころの目の和で最も出やすいのが $7$ というのは、期待値が $7$ であることからも納得できるよね。

ちなみに、さいころを $n$ 個投げたときも同様に、期待値は $\frac{7n}{2}$ 、分散は $\frac{35n}{12}$ になるよ。

このページのまとめ

ここでは確率変数の和や定数倍に対する期待値・分散の性質について学習しました。

特に重要なポイントは以下の $2$ つです。

$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ は常に成立する

$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ は $X$ と $Y$ が $\textcolor{red}{独立}$ のときのみ成立する

これらの公式は統計的な推測（正規分布、標本平均など）で繰り返し使うので、しっかり覚えてくださいね！

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