期待値って平均とどう違うの？

確率変数の期待値・分散では、統計的な推測について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

分散が $E(X^2)-E(X)^2$ で求まるのはなぜ？

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標準偏差を最後に平方根で出す意味を知りたい

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確率変数の期待値・分散の解き方 | 数学Bの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

確率変数の期待値・分散の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: $E(X)$ , $V(X)$ , $\sigma(X)$
ポイント: 統計的な推測の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

さいころを $1$ 回投げるとき、出た目の数を $X$ とする。

$(1)\quad X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

$(2)\quad X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。

$(3)\quad Y = 2X + 3$ のとき、 $E(Y)$ と $V(Y)$ を求めよ。

答えを見る

(1)\;E(X) = \underline{\frac{7}{2}}

$(2)\;V(X) = \underline{\frac{35}{12}}$ , $\sigma(X) = \underline{\frac{\sqrt{105}}{6}}$

$(3)\;E(Y) = \underline{10}$ , $V(Y) = \underline{\frac{35}{3}}$

解説

確率変数の期待値と分散について解説します。

前回は「確率変数と確率分布」について学習しました。

今回は、確率分布の「中心」や「ばらつき」を表す指標である期待値と分散を学んでいきましょう。

期待値って、データ分析で習った「平均」と似たようなものですか？

その通り！期待値は確率分布における「平均」を表すんだ。

分散も同じように、ばらつきを表す指標だよ。

「値 $\times$ 確率」を全部足すんですね！

そうだね。期待値は「長い目で見たときの平均的な値」と考えることができるよ。

さいころを $1$ 回投げるとき、出た目の数を $X$ とする。

$(1)\quad X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

さいころの目の確率分布表は次の通りです。

\Large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

期待値の公式に当てはめると、

E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}

= \frac{1+2+3+4+5+6}{6}

= \frac{21}{6} = \underline{\frac{7}{2}}

$3.5$ ですね。さいころの目の真ん中あたりになりました！

そうだね。さいころを何回も投げ続けると、出た目の平均は $3.5$ に近づいていくんだ。

次に、分散と標準偏差について見ていきましょう。

分散の計算式が2つありますね。どちらを使えばいいですか？

実際の計算では、 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ を使うことが多いよ。

この式は「 $X^2$ の期待値」から「 $X$ の期待値の $2$ 乗」を引くという意味だね。

$(2)\quad X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。

まず、 $E(X^2)$ を求めます。

E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}

= \frac{1+4+9+16+25+36}{6}

= \frac{91}{6}

(1)より $E(X) = \frac{7}{2}$ なので、

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

= \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2

= \frac{91}{6} - \frac{49}{4}

= \frac{182}{12} - \frac{147}{12}

= \underline{\frac{35}{12}}

標準偏差は分散の正の平方根なので、

\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}}

= \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}}

= \frac{\sqrt{35} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \underline{\frac{\sqrt{105}}{6}}

標準偏差は約 $1.7$ くらいですね。これはどう解釈すればいいですか？

標準偏差は「平均からの典型的なずれ」を表しているんだ。

さいころの場合、出た目は平均 $3.5$ から約 $1.7$ くらい離れていることが多い、ということだね。

次に、確率変数の線形変換について学びましょう。

期待値は $a$ も $b$ もそのままかかるけど、分散には $b$ が関係ないんですね！

いいところに気づいたね！分散は「ばらつき」を表すから、全体を $b$ だけ平行移動しても変わらないんだ。

一方、 $a$ 倍すると広がりも $a^2$ 倍になるよ。

$(3)\quad Y = 2X + 3$ のとき、 $E(Y)$ と $V(Y)$ を求めよ。

公式を使って計算しましょう。

E(Y) = E(2X + 3)

= 2E(X) + 3

= 2 \cdot \frac{7}{2} + 3

= 7 + 3 = \underline{10}

V(Y) = V(2X + 3)

= 2^2 \cdot V(X)

= 4 \cdot \frac{35}{12}

= \underline{\frac{35}{3}}

公式を使うとすごく簡単に計算できますね！

そうだね。 $Y$ の確率分布表を作り直して計算することもできるけど、公式を使った方がずっと楽だよ。

このページのまとめ

ここでは確率変数の期待値と分散について学習しました。

期待値 $E(X)$ は確率分布の「中心」、分散 $V(X)$ は「ばらつき」を表す重要な指標です。

特に $E(aX+b) = aE(X) + b$ 、 $V(aX+b) = a^2 V(X)$ の公式は頻出なので、しっかり覚えてくださいね！

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