確率変数と確率分布

問題

さいころを$1$回投げるとき、出た目の数を$X$とする。

$(1)\quad X$の確率分布表を作成せよ。

$(2)\quad P(X \geqq 4)$を求めよ。

$(3)\quad P(2 \leqq X \leqq 5)$を求めよ。

解説

確率変数と確率分布について解説します。

まず、確率変数とは何かを理解しましょう。

「確率変数」って、普通の変数と何が違うんですか？

いい質問だね！普通の変数は決まった値を表すけど、確率変数は「試行の結果によって値が決まる」変数なんだ。

例えば、さいころを投げて出る目は、投げる前は分からないよね。

さいころの目は$1$から$6$の整数だから、離散型確率変数ですね！

その通り！コイン投げの表裏（$0$か$1$）や、当たりくじの本数なども離散型確率変数だよ。

次に、確率分布について見ていきましょう。

確率分布表には大切な性質があるんだ。

全部足したら$1$になるんですね。当たり前といえば当たり前ですね！

そうだね。「何かしらの結果が必ず起こる」ということを数学的に表しているんだ。

では、問題を解いてみよう！

さいころの目は$1, 2, 3, 4, 5, 6$の$6$通りで、どの目も同様に確からしく出ます。

各目が出る確率はすべて$\frac{1}{6}$だね。これを表にまとめよう。

確率分布表は次のようになります。

確率の和を確認すると、$\frac{1}{6} \times 6 = 1$ですね！

素晴らしい！確率分布表を作ったら、必ず和が$1$になることを確認しよう。

$P(X \geqq 4)$は「$X$が$4$以上になる確率」です。

$X \geqq 4$を満たすのは$X = 4, 5, 6$のときだね。

確率分布表から、それぞれの確率を足し合わせます。

$P(2 \leqq X \leqq 5)$は「$X$が$2$以上$5$以下になる確率」です。

$X = 2, 3, 4, 5$の確率を足せばいいんですね！

別解として、「余事象」を使う方法もあるよ。

$$P(2 \leqq X \leqq 5) = 1 - P(X = 1) - P(X = 6) = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$$

どちらの方法でも同じ答えになりますね！

条件を満たす場合が多いときは余事象を使うと計算が楽になることがあるよ。

ここでは確率変数と確率分布の基本について学習しました。

確率変数は試行の結果によって値が決まる変数で、その確率分布を表にまとめたものが確率分布表です。

確率分布表を正しく作れるようになることが、統計的な推測を学ぶ上での第一歩です。

ぜひしっかりマスターしてくださいね！