二項分布 $B(n, p)$

問題

$(1)\quad$ 1枚の硬貨を$10$回投げるとき、表が出る回数を$X$とする。$P(X=3)$, $E(X)$, $V(X)$をそれぞれ求めよ。

$(2)\quad$ ある工場で生産される製品の不良品率が$5\%$である。この製品$100$個の中に含まれる不良品の個数を$Y$とするとき、$E(Y)$, $V(Y)$, $\sigma(Y)$を求めよ。

解説

二項分布$B(n, p)$の問題について解説します。

二項分布ってなんですか？

「成功か失敗か」の試行を繰り返したとき、成功する回数がどんな確率分布になるかを表すものだよ。

コイン投げが典型的な例だね。

同じ条件の試行を独立に$n$回繰り返し、1回の試行で事象$A$が起こる確率を$p$とします。このとき、$A$が起こる回数$X$の確率分布を$\textcolor{red}{二項分布}$といい、$X \sim B(n, p)$と表します。

この式はどういう意味ですか？

$n$回中$k$回成功するパターンが${}_n \mathrm{C}_k$通り、

成功$k$回の確率が$p^k$、失敗$(n-k)$回の確率が$(1-p)^{n-k}$。

これらを掛け合わせたものだよ。反復試行の確率そのものだね！

二項分布には、期待値と分散を簡単に求められる公式があります。

$E(X) = np$はなぜ成り立つんですか？

直感的に考えてみよう。1回の試行で確率$p$で成功するなら、1回あたり「平均$p$回」成功するよね。

それを$n$回繰り返すから、合計の平均は$n \times p = np$回になるんだ。

厳密には、各試行の成功回数$X_i$の期待値が$E(X_i)=p$で、$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$なので$E(X) = np$と導けるよ。

なるほど！1回の期待値が$p$で、それを$n$回分足すんですね。

分散も同じ考え方だよ。1回の試行の分散が$p(1-p)$で、独立な$n$回分を足すから$V(X) = np(1-p)$になるんだ。

では、問題を解いていきましょう。

硬貨を1回投げて表が出る確率は$p = \frac{1}{2}$、試行回数は$n = 10$です。

したがって、$X$は二項分布$B\left(10, \frac{1}{2}\right)$に従います。

まず$P(X=3)$を求めます。確率質量関数に$n=10, k=3, p=\frac{1}{2}$を代入すると、

${}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ だよ。$p = \frac{1}{2}$のときは$p^k(1-p)^{n-k} = \frac{1}{2^n}$となるから計算が楽だね。

次に、期待値と分散を公式で求めます。

期待値: $E(X) = np = 10 \times \frac{1}{2} = \underline{5}$

分散: $V(X) = np(1-p) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \underline{\frac{5}{2}}$

期待値$5$って、10回投げたら平均して5回表が出るってことですね！

その通り！この二項分布$B\left(10, \frac{1}{2}\right)$の確率分布を見てみよう。

グラフを見ると、$X=5$のあたりが最も確率が高くなっていて、左右対称になっているね。

これは$p=\frac{1}{2}$で表と裏の出やすさが同じだからだよ。

1個の製品が不良品である確率は$p = 0.05$、個数は$n = 100$です。

各製品が不良品かどうかは独立であると考えられるので、$Y$は二項分布$B(100, 0.05)$に従います。

$P(Y=k)$を計算するのは大変そうですね...

確率を一つずつ計算するのは確かに大変だけど、期待値・分散・標準偏差は公式を使えば一瞬だよ！

公式に$n=100, p=0.05$を代入します。

期待値: $E(Y) = np = 100 \times 0.05 = \underline{5}$

分散: $V(Y) = np(1-p) = 100 \times 0.05 \times 0.95 = \underline{4.75}$

100個中の不良品は平均$5$個で、標準偏差は約$2.18$個ということですね。

そうだね。つまり、大体$5 \pm 2$個くらいの範囲に不良品の個数が収まることが多いということだよ。

このように二項分布を使えば、実際の場面での「ばらつき」も定量的に評価できるんだ。

上のグラフは$B(100, 0.05)$を正規分布で近似したものだよ。$n$が大きいとき、二項分布は正規分布に近づくんだ。色が付いた部分が平均$\pm$標準偏差の範囲で、約$68\%$の確率がこの中に含まれるよ。

ここでは二項分布$B(n, p)$について学習しました。

確率$P(X=k) = {}_n \mathrm{C}_k \, p^k (1-p)^{n-k}$の公式と、期待値$E(X)=np$、分散$V(X)=np(1-p)$はどれも重要です。

二項分布は統計学の基礎となる分布なので、しっかりマスターしてくださいね！