母平均の点推定

いい質問だね。$\textcolor{red}{点推定}$は、母平均$\mu$などの母集団の特性値を$1$つの値で推定する方法だよ。

一方、$\textcolor{red}{区間推定}$は「$\mu$はこの範囲にあるだろう」と区間で推定する方法なんだ。

まずは点推定の基本を理解しよう！

ちゃんとした根拠があるよ。標本平均$\bar{X}$の期待値は$E(\bar{X}) = \mu$、つまり母平均$\mu$と一致するんだ。

何度も標本を取ってその都度$\bar{X}$を計算すると値は毎回変わるけれど、平均的には$\mu$の周りにばらつくんだよ。系統的に大きくなったり小さくなったりはしない。これが「$\textcolor{red}{不偏}$（偏りがない）」ということなんだ。

標本平均の計算は基本だね。ここまでは特に難しくないはずだよ。

実はそこに注意が必要なんだ。データから計算する普通の分散（$n$で割るもの）は、母分散より小さくなってしまう傾向があるんだよ。

そこで、$n$ではなく$\textcolor{red}{n-1}$で割った$\textcolor{red}{不偏分散}$を使うんだ。

直感的には、$\bar{X}$を計算するのにデータを$1$つ分使っているから、偏差の「自由に動ける個数」が$n$ではなく$n-1$になるんだ。これを$\textcolor{red}{自由度}$というよ。

「$n-1$で割ると期待値がぴったり$\sigma^2$になる」ということを覚えておこう。

ちなみに、もし$n = 5$で割ると$\frac{58}{5} = 11.6$になるよ。$n-1$で割った方が大きくなるのは、標本分散の「過小評価」を補正しているからなんだ。

その通り！不偏分散の考え方は区間推定や検定でも使うから、しっかり理解しておこうね。