標本平均の分布

問題

ある母集団の母平均が$\mu = 50$、母標準偏差が$\sigma = 12$であるとする。この母集団から大きさ$n=36$の標本を無作為抽出するとき、

$(1)\quad$ 標本平均$\overline{X}$の期待値$E(\overline{X})$を求めよ。

$(2)\quad$ 標本平均$\overline{X}$の分散$V(\overline{X})$を求めよ。

$(3)\quad$ 標本平均$\overline{X}$の標準偏差（標準誤差）を求めよ。

解説

標本平均の分布について解説します。

標本平均ってなんですか？

母集団から無作為に取り出したデータの平均のことだよ。

同じ母集団から標本を取り出しても、取り出すたびに標本平均の値は変わるよね。だから標本平均も1つの確率変数として扱えるんだ。

まず、標本平均の定義を確認しましょう。

標本平均の期待値や分散はどうやって求めるんですか？

これがとても重要なポイントだよ。標本平均の期待値と分散には、以下の公式が成り立つんだ。

$E(\overline{X}) = \mu$ということは、標本平均の期待値は母平均と同じなんですね！

その通り！これは標本平均が母平均の$\textcolor{red}{不偏推定量}$であることを意味しているんだ。

また、$V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$から、サンプルサイズ$n$が大きくなるほど分散が小さくなることも重要なポイントだよ。

では、問題を解いていきましょう。

公式より、標本平均の期待値は母平均と等しいので、

期待値はサンプルサイズ$n$に関係なく、常に母平均$\mu$と一致するよ。

公式$V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$を使います。

母標準偏差$\sigma = 12$なので、母分散は$\sigma^2 = 144$です。

分散が$144$から$4$に小さくなりましたね！

そう！サンプルサイズ$n=36$で割っているからね。

サンプルサイズを大きくするほど、標本平均のばらつきは小さくなるんだ。これが統計的推測の基本的な考え方だよ。

これをグラフで視覚化してみましょう。

標本平均の分布はすごく狭くなっていますね！

そうだね。$n=36$のとき、標準偏差が$\frac{1}{6}$になっているから、分布がとても鋭くなっているんだ。

これは、多くの標本を取るほど、標本平均が母平均の近くに集中することを意味しているよ。

標本平均の標準偏差は$\textcolor{red}{標準誤差}$とも呼ばれます。

$(2)$で求めた分散$V(\overline{X}) = 4$の平方根を取っても同じ結果になるよ。

$\sqrt{4} = 2$だね。

これらの公式はどうやって導かれるんですか？

期待値と分散の性質を使うんだ。簡単に説明するね。

$\overline{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$について、

• 期待値の線形性より$E(\overline{X}) = \frac{1}{n}(E(X_1) + \cdots + E(X_n)) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$

• $X_i$が独立なら$V(\overline{X}) = \frac{1}{n^2}(V(X_1) + \cdots + V(X_n)) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

分散の場合、$\frac{1}{n}$が2乗されて$\frac{1}{n^2}$になることに注意してね！

ここでは標本平均の分布について学習しました。

重要なポイントをまとめると、

• $E(\overline{X}) = \mu$（標本平均の期待値は母平均に等しい）

• $V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$（サンプルサイズが大きいほど分散は小さい）

• 標準誤差 $= \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

これらの公式は区間推定や仮説検定の基礎となる重要な内容です。しっかり理解しておきましょう！