母比率の推定・検定

問題

ある市で無作為に400人を選び、新しい市の施策に賛成かどうかを調査したところ、賛成と答えた人は220人であった。

$(1)\quad$ この市の全住民のうち、施策に賛成する人の比率$p$を点推定せよ。

$(2)\quad$ 母比率$p$の95%信頼区間を求めよ。

解説

母比率の推定について解説します。

母比率って何ですか？母平均との違いがよくわからないんですが...

いい質問だね！母平均は「平均値」を推定するのに対して、母比率は「ある性質を持つものの割合」を推定するんだ。

例えば、世論調査で「賛成の人の割合」を調べるときに使うよ。

点推定とは、標本から得られたデータを使って、母比率を1つの値で推定することだよ。

標本の大きさは$n = 400$人、賛成した人は$X = 220$人なので、

標本比率は $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{220}{400} = \underline{0.55}$

標本比率をそのまま母比率の推定値にしていいんですか？

その通り！標本比率$\hat{p}$は母比率$p$の不偏推定量なんだ。

だから$\hat{p} = 0.55$が母比率$p$の点推定値になるよ。

信頼区間はどうやって求めるんですか？

母平均の信頼区間と似た考え方だよ。まず、標本比率$\hat{p}$がどんな分布に従うか確認しよう。

標本比率$\hat{p}$の分布をグラフで見てみよう。

95%信頼区間は、標準正規分布で$\pm 1.96$の範囲に対応するよ。

グラフの塗りつぶされた部分が95%の範囲を表しています。両端の$\pm 1.96$がちょうど95%をカバーする値です。

公式の中に$p$ではなく$\hat{p}$が入っていますね。

いいところに気づいたね！本来は$p$を使いたいけど、$p$は未知だから$\hat{p}$で代用しているんだ。

$n$が大きければこの近似は十分正確だよ。

では、具体的に計算してみましょう。

$\hat{p} = 0.55$、$n = 400$より、

95%信頼区間は、

つまり、95%の確率で母比率$p$は$0.501$から$0.599$の間にあると推定できるんだ。

この信頼区間をグラフで視覚化してみましょう。

標本比率$0.55$を中心に、$0.501$から$0.599$の範囲が信頼区間になっているんですね！

グラフで見ると、ほとんどの面積がこの範囲に入っていることがわかります。

サンプルサイズを増やすと信頼区間はどうなりますか？

いい質問だね！公式を見てみよう。

標準偏差の式の分母に$\sqrt{n}$があるから、$n$が大きくなるほど信頼区間の幅は狭くなるよ。

例えば、今回の調査で$n = 400$から$n = 1600$に増やすと、

信頼区間の幅は $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$倍になる。

つまり、より精度の高い推定ができるようになります。

母比率の検定というのもあるんですか？

あるよ！例えば「この施策の賛成率は50%を超えているか」という仮説を検定できるんだ。

考え方は母平均の検定と同じだよ。

検定では、帰無仮説のもとでの$p_0$を使って標準偏差を計算するところがポイントだよ。

信頼区間では$\hat{p}$を使ったけど、検定では仮説の値$p_0$を使うんだ。

ここでは母比率の推定について学習しました。

母比率の点推定には標本比率$\hat{p} = \frac{X}{n}$を、95%信頼区間には公式$\hat{p} \pm 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$を使います。

世論調査や品質管理など、実生活でも広く使われる重要な手法なので、しっかりマスターしてくださいね！