正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$

問題

ある学校の数学のテストの点数$X$は、平均$50$点、標準偏差$10$点の正規分布$N(50, 10^2)$に従うとする。次の問いに答えよ。ただし、正規分布表より$P(0 \leqq Z \leqq 1.5) = 0.4332$, $P(0 \leqq Z \leqq 2.0) = 0.4772$とする。

$(1)\quad$ $X$を標準化した確率変数$Z$を求めよ。

$(2)\quad$ $30$点以上$70$点以下の生徒は全体の約何$\%$か。

$(3)\quad$ $65$点以上の生徒は全体の約何$\%$か。

解説

正規分布$N(\mu, \sigma^2)$の問題について解説します。

正規分布ってなんですか？どんな分布なんでしょう？

正規分布は、統計学で最も重要な確率分布だよ。

テストの点数や身長、製品の重さなど、多くの自然現象・社会現象のデータがこの分布に従うんだ。

正規分布のグラフを見てみよう。

平均$\mu = 50$、標準偏差$\sigma = 10$の正規分布$N(50, 10^2)$だよ。

きれいな山の形ですね！

平均の$50$を頂点として左右対称になっています。

正規分布には「$\textcolor{red}{68-95-99.7}$ルール」という便利な目安があるよ。

ほとんどのデータが平均から$3\sigma$以内に入るんですね！

その通り！でも、正規分布の確率を正確に求めるには正規分布表を使う必要があるよ。

そのために「標準化」という操作が必要なんだ。

正規分布$N(\mu, \sigma^2)$には無数の種類がありますが、正規分布表は$N(0, 1)$（標準正規分布）のものしかありません。

そこで、どんな正規分布でも$N(0, 1)$に変換する操作が$\textcolor{red}{標準化}$です。

標準化のイメージは、「平均を$0$に、標準偏差を$1$にずらす」ということだよ。

まず$\mu$を引いて中心を$0$にして、次に$\sigma$で割って幅を$1$にするんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

標準化の公式$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$に$\mu = 50$、$\sigma = 10$を代入します。

よって、答えは$Z = \underline{\dfrac{X - 50}{10}}$です。

例えば$X = 70$（$70$点）のとき$Z = \frac{70 - 50}{10} = 2$となるね。

これは「平均から標準偏差$2$個分だけ上にある」という意味だよ。

求める確率は$P(30 \leqq X \leqq 70)$です。

$X$の値をそれぞれ標準化すると、

$X = 30$のとき、$Z = \dfrac{30 - 50}{10} = -2$

$X = 70$のとき、$Z = \dfrac{70 - 50}{10} = 2$

よって、$P(30 \leqq X \leqq 70) = P(-2 \leqq Z \leqq 2)$

グラフで確認してみよう。塗りつぶした部分が求める確率だよ。

正規分布表は$P(0 \leqq Z \leqq z)$の値しか載っていないんですよね。$P(-2 \leqq Z \leqq 2)$はどう求めるんですか？

正規分布は$Z = 0$を中心に左右対称だよね。

だから$P(-2 \leqq Z \leqq 0) = P(0 \leqq Z \leqq 2)$が成り立つんだ。

つまり$P(-2 \leqq Z \leqq 2) = 2 \times P(0 \leqq Z \leqq 2)$で求められるよ。

よって、$30$点以上$70$点以下の生徒は全体の$\underline{\text{約}\; 95.44\%}$です。

これは$\mu \pm 2\sigma$の範囲だね。68-95-99.7ルールの「約$95\%$」と一致しているよ！

$X = 65$を標準化すると、$Z = \dfrac{65 - 50}{10} = 1.5$

求める確率は$P(X \geqq 65) = P(Z \geqq 1.5)$です。

$P(Z \geqq 1.5)$って、正規分布表から直接読めないですよね？

そうだね。ここがポイントだよ。

全体の確率は$1$だから、$P(Z \geqq 0) = 0.5$（右半分）ということを使おう。

右半分の確率$P(Z \geqq 0) = 0.5$から、$P(0 \leqq Z \leqq 1.5)$を引けば求められます。

よって、$65$点以上の生徒は全体の$\underline{\text{約}\; 6.68\%}$です。

なるほど！「全体$0.5$から引く」という方法を使うんですね。

正規分布の確率計算では、次の3パターンを覚えておくと便利だよ。

$\textcolor{red}{(1)}\;P(a \leqq Z \leqq b)$：正規分布表の値を足し引きする

$\textcolor{red}{(2)}\;P(Z \geqq a)$：$0.5 - P(0 \leqq Z \leqq a)$

$\textcolor{red}{(3)}\;P(Z \leqq -a)$：対称性より $P(Z \geqq a)$に等しい

ここでは正規分布$N(\mu, \sigma^2)$について学習しました。

正規分布の問題を解く手順は、$\textcolor{red}{(1)}$標準化（$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$）$\to$ $\textcolor{red}{(2)}$正規分布表で確率を読み取る$\to$ $\textcolor{red}{(3)}$対称性を使って計算、の$3$ステップです。

統計的な推測の基礎となる重要な分野なので、繰り返し練習してマスターしてくださいね！