仮説検定の考え方

問題

あるコインを$100$回投げたところ、表が$60$回出た。このコインは「表が出やすい」と言えるか、有意水準$5\%$で検定せよ。

ただし、正規分布表より、片側検定では$P(Z \geqq 1.645) = 0.05$, $P(Z \geqq 2.33) = 0.01$、両側検定では$P(|Z| \geqq 1.96) = 0.05$, $P(|Z| \geqq 2.58) = 0.01$とする。

解説

仮説検定の考え方について解説します。

仮説検定ってなんですか？難しそうです...

仮説検定は「ある主張が正しいかどうか」をデータを使って判断する方法だよ。

考え方を理解すれば難しくないから、一緒に見ていこう！

帰無仮説と対立仮説って何ですか？

いい質問だね！これが仮説検定の核心部分だよ。

仮説検定の考え方は「背理法」に似ているんだ。

まず否定したい仮説（$H_0$）を仮定して、それが成り立たないことを示すんだよ。

なるほど！$H_0$が正しいと仮定して、矛盾を導くんですね。

まず、仮説を設定しましょう。

• $H_0$（帰無仮説）：表が出る確率は$p=0.5$（普通のコインである）

• $H_1$（対立仮説）：表が出る確率は$p>0.5$（表が出やすいコインである）

対立仮説が$p \neq 0.5$ではなく$p>0.5$なのはなぜですか？

問題文で「表が出やすい」かどうかを調べているからだね。

「出やすい」は$p>0.5$を意味するから、これを片側検定というんだ。

次に、有意水準について確認しましょう。

有意水準$5\%$ってどういう意味ですか？

「$H_0$が正しいのに、誤って$H_0$を棄却してしまう確率」を$5\%$以下にするということだよ。

つまり「$5\%$以下の確率でしか起こらないこと」が起きたら、$H_0$は間違っていると判断するんだ。

それでは、検定統計量を計算していきましょう。

$H_0$が正しいとき、標本比率$\hat{p}$は近似的に正規分布$N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$に従います。

標準化した検定統計量$Z$は

有意水準$5\%$の片側検定での棄却域を求めます。

片側検定で有意水準$5\%$のとき、棄却域は$Z \geqq 1.645$だよ。

問題文には片側検定と両側検定の両方の値が与えられているから、今回は片側検定の$1.645$を使うんだ。

検定統計量$Z=2$は棄却域$Z \geqq 1.645$に入るので、$H_0$を棄却します。

下のグラフで棄却域（赤く塗られた部分）を確認してみましょう。

赤く塗られた部分が有意水準$5\%$の片側検定における棄却域（$Z \geqq 1.645$）です。計算した検定統計量$Z=2$はこの棄却域に含まれるため、$H_0$を棄却できます。

つまり、このコインは表が出やすいと言えるんですね！

その通り！「有意水準$5\%$で有意である」と表現するよ。

検定の結論の書き方をまとめておきましょう。

• 棄却域に入る場合：「$H_0$を棄却し、$H_1$を採択する」

• 棄却域に入らない場合：「$H_0$を棄却できない」

棄却域に入らない場合は「$H_0$が正しい」とは言わないんですか？

いい質問！「棄却できない」と「正しい」は違うんだ。

データからは$H_0$が間違っているとは言えない、ということだね。

ここでは仮説検定の考え方について学習しました。

仮説検定は「帰無仮説$H_0$を仮定して、それが正しくないかどうかを調べる」という考え方がポイントです。

検定の手順をしっかり覚えて、問題に取り組んでくださいね！