連続型確率変数で、確率が面積になるのはなぜ？

連続型確率変数では、統計的な推測について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

確率密度関数が満たす条件をもう少し知りたい

連続型確率変数では、統計的な推測について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

グラフの下の面積から確率を求めるコツは？

連続型確率変数では、統計的な推測について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

連続型確率変数の解き方 | 数学Bの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

連続型確率変数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 確率密度関数
ポイント: 統計的な推測の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)=ax\;\;(0 \leqq x \leqq 2)$ で与えられているとき、

$(1)\quad$ 定数 $a$ の値を求めよ。

$(2)\quad P(1 \leqq X \leqq 2)$ を求めよ。

$(3)\quad$ 期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

答えを見る

(1)\;a=\underline{\frac{1}{2}}

(2)\;P(1 \leqq X \leqq 2)=\underline{\frac{3}{4}}

(3)\;E(X)=\underline{\frac{4}{3}},\quad V(X)=\underline{\frac{2}{9}}

解説

連続型確率変数と確率密度関数について解説します。

連続型確率変数って、離散型確率変数とどう違うんですか？

いい質問だね。離散型は「さいころの目」のように飛び飛びの値しか取らないけど、連続型は「身長」や「時間」のように連続した値を取るんだ。

確率を積分で求めるんですね！

そうだよ。グラフでいうと、 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積が確率を表すんだ。

例えば正規分布の確率密度関数では、塗りつぶした部分の面積が確率になります。

曲線の下の面積が確率なんですね！

確率密度関数 $f(x)$ が満たすべき条件も確認しておきましょう。

これらを踏まえて問題を解いていきましょう。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)=ax\;\;(0 \leqq x \leqq 2)$ で与えられているとき、

$(1)\quad$ 定数 $a$ の値を求めよ。

確率密度関数の条件から、全区間での積分が $1$ になることを使います。

$f(x)=ax$ は $0 \leqq x \leqq 2$ でのみ値を持ち、それ以外では $f(x)=0$ だよ。

\int_0^2 ax\,dx = 1

\left[\frac{a}{2}x^2\right]_0^2 = 1

\frac{a}{2} \cdot 4 - 0 = 1

2a = 1

a = \underline{\frac{1}{2}}

$a > 0$ だから $f(x) \geqq 0$ の条件も満たしていますね！

よく気づいたね！確率密度関数の $2$ つの条件を両方とも確認することが大切だよ。

$(2)\quad P(1 \leqq X \leqq 2)$ を求めよ。

$(1)$ より $f(x)=\frac{1}{2}x$ なので、定積分で確率を求めます。

P(1 \leqq X \leqq 2) = \int_1^2 \frac{1}{2}x\,dx

= \left[\frac{1}{4}x^2\right]_1^2

= \frac{1}{4} \cdot 4 - \frac{1}{4} \cdot 1

= 1 - \frac{1}{4}

= \underline{\frac{3}{4}}

これは $y=\frac{1}{2}x$ のグラフで $x=1$ から $x=2$ までの部分の面積と考えることもできるね。

$(3)\quad$ 期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。

連続型確率変数の期待値と分散は、積分を使って求めます。

離散型では $\sum$ だったのが、連続型では $\int$ になるんですね。

その通り！考え方は同じで、計算方法が変わるだけだよ。

まず期待値 $E(X)$ を求めます。

E(X) = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{2}x\,dx

= \frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx

= \frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2

= \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}

= \underline{\frac{4}{3}}

次に $E(X^2)$ を求めます。

E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{1}{2}x\,dx

= \frac{1}{2}\int_0^2 x^3\,dx

= \frac{1}{2}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2

= \frac{1}{2} \cdot 4

= 2

したがって、分散 $V(X)$ は

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

= 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2

= 2 - \frac{16}{9}

= \frac{18-16}{9}

= \underline{\frac{2}{9}}

分散を求めるときは $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ の公式を使うと計算が楽になるよ。

このページのまとめ

ここでは連続型確率変数と確率密度関数について学習しました。

確率密度関数の条件（非負性と全確率が $1$ ）をしっかり理解し、期待値・分散を積分で求められるようにしておきましょう！

正規分布など、より発展的な内容への基礎となる重要な単元です。

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。連続型確率変数 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。