母平均の区間推定

問題

ある高校の全生徒の身長は母標準偏差$\sigma = 10\text{cm}$の正規分布に従うことが知られている。この高校から無作為に$100$人の生徒を選び身長を測ったところ、標本平均は$\overline{X} = 170\text{cm}$であった。

$(1)\quad$ 母平均$\mu$の$95\%$信頼区間を求めよ。

$(2)\quad$ 信頼区間の幅を$(1)$の半分にするには、何人の標本を取ればよいか。

解説

母平均の$95\%$信頼区間について解説します。

区間推定って何ですか？標本平均をそのまま母平均の推定値にすればいいんじゃないんですか？

それは$\textcolor{red}{点推定}$と呼ばれる方法だね。標本平均$\overline{X}$は母平均$\mu$の点推定値として使えるよ。

でも、標本を取り直すたびに$\overline{X}$の値は変わるから、「どのくらいの誤差があるか」まで示した方が信頼できるよね。

なるほど！でも、どうやって区間を求めるんですか？

標本平均$\overline{X}$の分布を利用するんだ。母平均$\mu$、母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を取ると、標本平均は

$$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

に従うんだったね。

ここで標準化すると、$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$は標準正規分布$N(0, 1)$に従います。

$95\%$信頼区間で$1.96$という値が出てきますが、なぜ$1.96$なんですか？

標準正規分布において、$P(|Z| \leqq 1.96) = 0.95$が成り立つからだよ。つまり$Z$が$-1.96$から$1.96$の間に入る確率がちょうど$95\%$なんだ。

グラフで確認してみましょう。

色のついた部分の面積が$0.95$（$95\%$）です。つまり、標準正規分布に従う$Z$が$-1.96$から$1.96$の範囲に収まる確率が$95\%$ということですね。

$P(|Z| \leqq 1.96) = 0.95$を$\overline{X}$と$\mu$の不等式に書き換えると、

これが$95\%$信頼区間の公式です。

「$95\%$の確率で$\mu$がこの区間に入る」ということですか？

実はその解釈は厳密には正しくないんだ。母平均$\mu$は固定された値だから、「$\mu$が動いて区間に入ったり出たりする」わけではないよ。

動いているのは「区間の方」なんだ。標本を取り直すたびに$\overline{X}$が変わるから、信頼区間も毎回変わるよね。その区間のうち$95\%$が$\mu$を含んでいる、というのが正しい解釈だよ。

なるほど！区間が動いて、$\mu$は固定なんですね。理解できました！

では、問題を解いていきましょう。

問題の条件を整理すると、$\sigma = 10$、$n = 100$、$\overline{X} = 170$です。

まず、標準誤差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$を計算します。

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$は$\textcolor{red}{標準誤差}$と呼ばれていて、標本平均のばらつきの大きさを表しているよ。

$95\%$信頼区間の公式に代入すると、

信頼区間の幅は$171.96 - 168.04 = 3.92\text{cm}$ですね。

そうだね。信頼区間の幅は$2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$で計算できるよ。今回は$2 \times 1.96 \times 1 = 3.92$だね。

$95\%$信頼区間の幅は$2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$です。

$(1)$の幅が$3.92$なので、その半分$1.96$にしたいとき、

幅を半分にするのに$4$倍の人数が必要なんですか？

その通り！信頼区間の幅は$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$に比例するから、幅を$\frac{1}{k}$倍にしたければ$n$を$k^2$倍にする必要があるんだ。

今回は幅を$\frac{1}{2}$にしたいから、$n$を$2^2 = 4$倍にして$100 \times 4 = 400$人となるよ。

グラフで$n$の違いによる信頼区間の幅の変化を確認してみましょう。

$n=400$の方が分布が鋭くなっているね。標本平均のばらつきが小さくなるから、より狭い信頼区間で$\mu$を推定できるんだ。

推定の精度を上げたければ、標本サイズを大きくすればいいんですね！

そうだね。ただし、精度を上げるためのコスト（調査にかかる時間やお金）とのバランスも大切だよ。

ここでは母平均の$95\%$信頼区間の計算方法とその解釈について学習しました。

ポイントをまとめると、

• $95\%$信頼区間の公式：$\overline{X} \pm 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

• $1.96$は標準正規分布で$P(|Z| \leqq 1.96) = 0.95$となる値

• 信頼区間は「この操作を繰り返したとき$95\%$の区間が$\mu$を含む」という意味

• 幅を$\frac{1}{k}$倍にするには$n$を$k^2$倍にする

区間推定は仮説検定とあわせて統計的推測の中心的な内容です。公式だけでなく意味もしっかり理解しておきましょう！