中心極限定理

問題

サイコロを$n$回投げて出た目の平均を$\bar{X}$とする。サイコロ$1$個の目の期待値は$\mu = 3.5$、分散は$\sigma^2 = \dfrac{35}{12}$である。

$(1)\quad$ $\bar{X}$の期待値$E(\bar{X})$と分散$V(\bar{X})$を$n$を用いて表せ。

$(2)\quad$ $n = 36$のとき、$\bar{X}$の標準偏差を求めよ。

$(3)\quad$ $n = 36$のとき、$\bar{X}$が$3$以上$4$以下となるおよその確率を求めよ。ただし、$P(0 \leqq Z \leqq 1.76) = 0.4608$とする。

解説

中心極限定理について解説します。

中心極限定理って名前は聞いたことがありますが、どんな定理ですか？

統計で最も大切な定理の一つだよ。ひとことで言うと「たくさんのデータの平均をとると、元の分布がどんな形でも正規分布に近づく」という定理なんだ。

母集団の分布がどんな形でもいいんですか？偏った分布でも？

そうなんだ！一様分布でも、歪んだ分布でも、標本サイズ$n$さえ十分大きければ標本平均の分布は正規分布に近づくよ。

これが中心極限定理のすごいところだね。

では、なぜ「平均をとると正規分布に近づく」のでしょうか。直感的に考えてみましょう。

サイコロを例にとります。サイコロ$1$個の目は$1$から$6$が同じ確率で出る$\textcolor{red}{一様分布}$です。正規分布とは全く違う形をしていますね。

しかし、サイコロを$2$個投げた場合の平均はどうでしょうか。平均が$3.5$に近い値は出やすく、端の値は出にくくなります。例えば、平均が$1$になるのは$(1,1)$の場合だけですが、平均が$3.5$になる組合せは$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$の$6$通りもあります。

なるほど！中央付近の値が出やすくなるんですね。

そうだね。$n$を大きくするほど、この「中央に集まる」傾向が強くなって、分布の形が正規分布に近づいていくんだ。

$n$が大きくなるにつれて、標本平均の分布が正規分布に近づく様子をグラフで確認しましょう。$n$が大きいほど、分布が鋭く中央に集中していきます。

サイコロ$1$個のとき（$n=1$）：標準偏差$\approx 1.71$（一様分布なので正規分布ではないが参考として表示）

サイコロ$4$個の平均（$n=4$）：標準偏差$\approx 0.85$（もう正規分布に近い形）

サイコロ$10$個の平均（$n=10$）：標準偏差$\approx 0.54$（さらに鋭く集中）

$n$が増えるほどグラフが細く高くなって、$\mu=3.5$の周りに集中していますね！

その通り！これが中心極限定理の本質だよ。次に、なぜ分散が$\frac{\sigma^2}{n}$になるのか、数式で確認してみよう。

標本平均$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$について、$X_1, X_2, \ldots, X_n$は互いに独立で、それぞれ$E(X_i) = \mu$、$V(X_i) = \sigma^2$を満たします。

分散の式で$\frac{1}{n^2}$が出てくるのはなぜですか？

$V(aX) = a^2 V(X)$という性質を使っているんだ。$\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$だから、$a = \frac{1}{n}$として$\frac{1}{n^2}$が出てくるんだよ。

また、$X_1, \ldots, X_n$が独立なので$V(X_1 + \cdots + X_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n)$が使えるんだ。

つまり、$n$が大きくなると分散$\frac{\sigma^2}{n}$は$0$に近づきます。これは「$n$を大きくするほど標本平均$\bar{X}$のばらつきが小さくなる」ことを意味します。

では問題を解いていきましょう。

先ほどの公式をそのまま適用します。

サイコロの目の分布は一様分布だけど、標本平均の期待値は母平均$3.5$と一致するし、分散も公式通り$\frac{\sigma^2}{n}$になるよ。

標準偏差は分散の正の平方根です。

サイコロ$1$個だと標準偏差が約$1.71$だったのに、$36$個の平均だと約$0.285$になるんですね！

そうだね。$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.71}{\sqrt{36}} = \frac{1.71}{6} \approx 0.285$だから、$36$個の平均をとることでばらつきが$\frac{1}{6}$になったんだ。

$n = 36$は十分大きいので、中心極限定理より$\bar{X}$は近似的に正規分布$N\!\left(3.5,\; \left(\frac{\sqrt{105}}{36}\right)^{\!2}\right)$に従います。

標準化変量$Z = \frac{\bar{X} - 3.5}{\sqrt{105}/36}$を求めます。

正規分布の対称性を使って、

正規分布表より$P(0 \leqq Z \leqq 1.76) = 0.4608$を用いました。

サイコロの目は$1$から$6$の一様分布なのに、$36$個の平均をとるとこんなにきれいな正規分布になるんですね！

これが中心極限定理の力だよ。母集団の分布が何であっても、$n$が大きければ標本平均は正規分布に近づくんだ。

この性質があるからこそ、$\textcolor{red}{区間推定}$や$\textcolor{red}{仮説検定}$が可能になるんだよ。

区間推定や仮説検定にどうつながるんですか？

例えば、母平均$\mu$が未知のとき、標本平均$\bar{X}$を使って「$\mu$はだいたいこの範囲にある」と推定するのが区間推定だよ。

中心極限定理のおかげで$\bar{X}$が正規分布に従うと分かるから、確率計算ができるんだ。

ここでは中心極限定理について学習しました。

中心極限定理の要点は「母集団の分布によらず、標本サイズ$n$が十分大きければ、標本平均$\bar{X}$は正規分布$N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$に従う」ということです。

$n$が大きくなるほど分散$\frac{\sigma^2}{n}$は小さくなり、標本平均は母平均$\mu$の周りに集中していきます。この定理は区間推定・仮説検定の土台となるので、しっかり理解しておきましょう！