反復試行

問題

$1$枚のコインを$5$回続けて投げるとき、表が$3$回だけ出る確率を求めよ。

解説

反復試行の問題について解説します。

反復試行ってなんですか？

この問題のようにコインを5回投げたり、サイコロを4回振ったりする「同じ条件のもとで繰り返し行われる試行」のことだよ。

見分けるコツはありますか？

反復試行は、その試行が何回目であろうと互いに影響を及ぼし合わないんだ。

「コインを投げる」という試行は$1$回目でも$5$回目でも表か裏が出る確率はそれぞれ$\frac 1 2$だよね。

ここで、反復試行の確率を求める公式をみてみましょう。

何言ってるのか全くわかりません。

大丈夫。公式を覚えるというよりは考え方を覚えていこう！

それでは問題を見ていきながら考え方を解説していきます。

コインを$5$回投げる中で表を$3$回「だけ」出すことを考えます。

もう少し詳しくいうと、$5$回のうち$3$回表を出し、$2$回裏を出せばいいということになります。

試しに、以下のようなケースを考えてみましょう。

表と裏が出る確率はそれぞれ$\frac{1}{2}$なので、$\left(\frac 1 2\right)^3 \left(\frac 1 2\right)^2=\frac{1}{32}$です。

その通り。今は$1$回目と$2$回目と$3$回目に表が出て、$4$回目と$5$回目で裏が出るパターンを考えたけれど、他にも色々なパターンがあるのは分かるかな？

はい。例えば$1$回目と$2$回目に裏が出て$3,4,5$回目は表が出るときがあります。

そうだね。それらのパターンは全部で何通りあるかな？

同じものを含む順列を考えればいいですね。$\frac{5!}{3!2!}=10$通りです。

表が$3$回、裏が$2$回出ればよいので、その出方は$\frac{5!}{3!2!}={}_5 \mathrm{C}_3$通りあることが分かります。それぞれの確率が$\left(\frac 1 2\right)^3 \left(\frac 1 2\right)^2$なので、${}_5 \mathrm{C}_3 \left(\frac 1 2\right)^3 \left(\frac 1 2\right)^2=\underline{\frac{5}{16}}$となります。

公式と同じ形の計算式が出てきたね。

このような考え方ができるなら公式を覚える必要はないね！

ここでは反復試行の問題について解説しました。

考え方を理解できていれば、公式を覚えていなくても簡単に解くことができます。

色々な問題を解いて慣れていきましょう！