確率の基本性質・定義

問題

$(1)\quad$ $1$個のサイコロを$1$回投げるとき、偶数の目が出る確率を求めよ。

$(2)\quad$ $52$枚のトランプから$1$枚を引くとき、ハートまたは絵札が出る確率を求めよ。

解説

確率の基本的な考え方について解説します。

確率ってそもそも何ですか？

いい質問だね。確率は「ある出来事がどれくらい起こりやすいか」を数値で表したものだよ。

まずは基本的な用語から確認していこう。

確率を学ぶために、いくつかの用語を理解しておきましょう。

・$\textcolor{red}{試行}$：同じ条件のもとで何回でも繰り返すことのできる実験や観察のこと

・$\textcolor{red}{事象}$：試行の結果起こる事柄のこと

・$\textcolor{red}{全事象}$ $U$：起こり得る全ての結果の集合

・$\textcolor{red}{空事象}$ $\emptyset$：決して起こらない事象

例えば「サイコロを$1$回投げる」は$\textcolor{red}{試行}$、「偶数の目が出る」は$\textcolor{red}{事象}$です。

全事象$U$はサイコロなら$U=\{1,2,3,4,5,6\}$であり、$n(U)=6$となります。

次に確率の定義と基本性質を見ていきましょう。

「同様に確からしい」ってどういう意味ですか？

それぞれの結果が同じ程度に起こると期待できるということだよ。

例えばサイコロなら$1$から$6$のどの目も同じ確率$\frac{1}{6}$で出ると考えるんだ。

確率は$0$以上$1$以下の値をとります。$P(A)=0$なら絶対に起こらず、$P(A)=1$なら必ず起こるということです。

それでは問題を解いていきましょう！

まずは全事象と、求める事象を整理しよう。

サイコロを$1$回投げるとき、全事象は$U=\{1,2,3,4,5,6\}$で$n(U)=6$です。

偶数の目が出る事象を$A$とすると、$A=\{2,4,6\}$で$n(A)=3$です。

よって確率の定義より、

定義に当てはめるだけでいいんですね！

その通り！次は$(2)$を見ていこう。この問題は少しだけ工夫が必要だよ。

「ハート$\textcolor{red}{または}$絵札」なので、$2$つの事象の$\textcolor{red}{和事象}$を考える必要があります。

ここで重要な公式を紹介します。

なぜ$P(A \cap B)$を引くんですか？

$P(A)$と$P(B)$をそのまま足すと、共通部分$A \cap B$を$2$回数えてしまうからだよ。

ベン図で見るとわかりやすいよ！

ハートの事象を$A$、絵札の事象を$B$とします。

・ハートは$13$枚なので $n(A) = 13$

・絵札（J, Q, K）は各マーク$3$枚ずつで$4$マーク分あるので $n(B) = 12$

・ハートかつ絵札（ハートのJ, Q, K）は $n(A \cap B) = 3$

全事象は$n(U) = 52$なので、加法定理より

もし$P(A \cap B)$を引き忘れると$\frac{25}{52}$になってしまうから注意してね。

ハートの絵札を$2$回数えてしまっているよ。

「または」が出てきたら加法定理を使うんですね！共通部分を引くのを忘れないようにします。

ここでは確率の基本的な定義と性質について学習しました。

確率の計算では、まず全事象$n(U)$を求めてから、求めたい事象$n(A)$を数えるのが基本です。

「または」の確率では加法定理を使い、共通部分の引き忘れに注意しましょう。

この考え方は今後の確率の問題を解く上で基礎になるので、しっかりマスターしてくださいね！