排反事象と確率の加法定理

問題

$1$個のサイコロを$1$回投げるとき、次の確率を求めよ。

$(1)\quad$ $3$の倍数または$4$の倍数の目が出る確率

$(2)\quad$ $2$の倍数または$3$の倍数の目が出る確率

解説

排反事象と確率の加法定理について解説します。

「排反事象」って何ですか？

いい質問だね。2つの事象が同時には起こらないとき、「排反」と言うんだ。

まずは定義から確認しよう！

なるほど、同時に起こらないということですね。排反のときは確率はどう求めるんですか？

排反のときは、それぞれの確率をそのまま足せばOKだよ。

これを「確率の加法定理」と言うんだ。

排反でないときは$P(A \cap B)$を引かないと、重複して数えてしまうんだ。

ベン図で考えるとわかりやすいよ。

排反の場合と排反でない場合をベン図で比較してみましょう。

排反の場合（$A \cap B = \varnothing$）：

排反でない場合（$A \cap B \neq \varnothing$）：

排反でないときは共通部分があるから、$P(A)+P(B)$だけだと共通部分を$2$回数えてしまうんですね！

その通り！だから$P(A \cap B)$を引いて調整するんだよ。それでは問題を解いていこう。

まず、サイコロの出る目は$1, 2, 3, 4, 5, 6$の$6$通りですね。

事象を整理しましょう。

・事象$A$：$3$の倍数の目が出る $\rightarrow$ $\{3, 6\}$ の$2$通り

・事象$B$：$4$の倍数の目が出る $\rightarrow$ $\{4\}$ の$1$通り

ここで大事なのは、$A$と$B$が排反かどうかを確認することだよ。

$A \cap B$は「$3$の倍数かつ$4$の倍数」、つまり$12$の倍数の目が出る事象です。

サイコロの目は$1$~$6$なので、$12$の倍数はありません。

よって$A \cap B = \varnothing$、つまり$A$と$B$は$\textcolor{red}{排反}$です。

排反なので加法定理より、

同様に事象を整理しましょう。

・事象$A$：$2$の倍数の目が出る $\rightarrow$ $\{2, 4, 6\}$ の$3$通り

・事象$B$：$3$の倍数の目が出る $\rightarrow$ $\{3, 6\}$ の$2$通り

$A$と$B$は排反かな？

$6$は$2$の倍数でもあり$3$の倍数でもあるから...排反ではないですね！

正解！$A \cap B = \{6\}$だから排反ではないね。一般の加法定理を使おう。

$A \cap B$は「$2$の倍数かつ$3$の倍数」、つまり$6$の倍数の目が出る事象なので$A \cap B = \{6\}$です。

排反ではないので、一般の加法定理を使います。

もし$P(A \cap B)$を引かなかったら$\dfrac{5}{6}$になってしまいますね。$6$を$2$回数えてしまうから間違いになるんだ。

その通り！排反かどうかの確認は必ず行おう。

$3$つ以上の排反事象の場合も同じ考え方で、$P(A) + P(B) + P(C)$のように単純に足し合わせればOKだよ。

排反なら何個でも足し算するだけでいいんですね！

その通り。排反かどうかの判定がポイントだから、問題を解くときはまず共通部分があるかどうかを確認しようね。

ここでは排反事象と確率の加法定理について学習しました。

ポイントは、$A$と$B$が排反かどうかを必ず確認することです。

排反なら$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$、排反でなければ$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$を使いましょう。

確率の基本となる考え方なので、しっかりマスターしてくださいね！