サイコロの問題

問題

$1$個のさいころを$3$回投げるとき次の確率を求めよ。

$(1)$目の和が$7$となる確率

$(2)$出た目の積が$5$の倍数となる確率

解説

サイコロの問題について解説します。

確率の問題を解く時は、まず全ての場合の数について考えましょう。

$1$個のさいころを$3$回投げているので、出る目の総数は$6 \times 6\times 6=216$通りです。

これを分母として確率を求めていきます！

この問題を見て、まずどう考えるかな？

目の和が$7$となるから、最初に$1$が出た場合は次に$2$か$3$か$4$か$5$で$\cdots$

いいね。まずはどの目の組み合わせなら与えらえた条件を満たせるのかを考えるんだ。

さいころを3回投げて目の和が7になるということは、さいころの目の組み合わせが

1. $$\large (1,1,5)$$
2. $$\large (1,2,4)$$
3. $$\large (1,3,3)$$
4. $$\large (2,2,3)$$

のときですね。

この4つの組み合わせが出てくる場合の総数について考えていきましょう。

これは組み合わせなので、例えば${(1,1,5)}の$順番ではなくても${(1,5,1)}や$ ${(5,1,1)}も$考える必要があります。

計算式で求めると、$3$つの数字を並べるので$3!$となり、$1$が$2$回あるので$2!$で割ることにより$\frac{3!}{2!}$で$3$通りとなります。

これは、${(1,1,5)}の$組み合わせの時と全く同じことが言えるのでどちらも${3}通り$です。

$3$つの数字を並べるので$3!=6$通りありますね。

以上より、条件を満たすのは$3+3+3+6=15$通りとなります。

最初に求めた全ての場合の和で割り、求める確率は$\underline{\frac{15}{216}=\frac{5}{72}}$となります。

同じように、どのような目が出た時に$5$の倍数になるかを考えていきます。

$5$が$1$回でも出れば$5$の倍数になるから、最初に$5$が出た時はその後は何でもよくて$\cdots$

$(5,1,3),(5,1,4),(5,1,5)\cdots$ 多すぎます。

たくさんあるね。そういうときは着眼点を少し変えてみよう！

$5$が$1$回でも出れば$5$の倍数になります。では逆に、どのような場合に5の倍数にならないのでしょうか？

5が1回も出ないときですか？

その通り。

$5$が$1$回でも出るときと、$5$が$1$回も出ない確率だったら$5$が$1$回でも出る確率の方が大きそうだよね。

条件を満たすような組み合わせがありすぎるときは逆に満たさない場合を考えてみよう！

5が1回も出ない確率は、$5$以外の数字が$3$回出る確率なので$\left ( \frac{5}{6} \right )^3 = \frac{125}{216}$となります。

よって、すべての場合から$5$が$1$回も出ない場合を引いて$1-\frac{125}{216}=\underline{\frac{91}{216}}$となります。

ここではさいころの問題について解説しました。

さいころの問題は高校数学で頻出します。投げるサイコロの数が2個でも3個でも4個でも解けるようにたくさんの問題を解いてマスターしましょう！