順列の確率

問題

男子$5$人、女子$3$人を$1$列に並べるとき次の確率を求めよ。

$(1)\;$ 女子$3$人が隣り合う確率

$(2)\;$ 少なくとも一端が男子である確率

解説

順列の確率の問題について解説します。

まずは確率の定義についておさらいしましょう。

基本的に確率の問題は

1. 起こりうる全ての場合の数を求める
2. その事象が起こる場合の数を求める

この2ステップで解いていきます。

それでは、$(1)$から見ていきましょう！

まずは起こりうる全ての場合の数を求めましょう。

男子$5$人、女子$3$人を$1$列に並べる方法は${}_8 \mathrm{P}_8=8!$通りありますね。

最後にまとめて約分できるから$8!$はまだ計算しなくて大丈夫だよ。

次に女子3人が隣り合う場合の数を求めます。

女子3人が隣り合うということは、女子3人を1つのかたまりとして考えればいいんでしたね。

その通り！もし分からなければ、[数学A - 場合の数 - 順列]のところで復習してみてね。

女子$3$人を$1$つのかたまりとして考えると、男子$5$人と$1$つのかたまりの並べ方で$6!$通りとなり、女子$3$人のかたまりの中での並べ方は$3!$通りなので女子$3$人が隣り合う場合の数は$6! \times 3!$通りとなります。

これで確率を求める準備は整いました。

女子$3$人が隣り合う確率を$P$とすると、${P=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こり得る全ての場合の数}=\frac{6! \times 3!}{8!}=\underline{\frac{3}{28}}}と$ $なります。$

最後にまとめて階乗の部分を約分しよう。

それでは次の問題を見ていきます。

起こりうる全ての場合の数は、$(1)$と同じなので$8!$となります。

そのため、少なくとも一端が男子である場合の数を求めればこの確率を求めることができますね。

少なくとも一端が男子になる場合ってたくさん考えられますね。

そういうときは「余事象」の考え方を使うんだったね。

問題文に「少なくとも」や「以上」などの単語があったら余事象の考え方を使うことが多いよ！

「少なくとも一端が男子である」という事象の余事象は「両端とも女子である」という事象なので、両端とも女子になる場合の数について考えていきます。

両端が女子であればよく、それ以外の並べ方は自由なので両端の女子の並べ方が${}_3 \mathrm{P}_2$通り、残った$6$人の並べ方で$6!$通り

これらを掛け合わせて、両端が女子になる場合の数は${}_3 \mathrm{P}_2 \times 6!$通りとなります。

よって、両端が女子になる確率は$\frac{{}_3 \mathrm{P}_2 \times 6!}{8!}$となります。

そして、余事象の考え方を使った確率は、以下のように考えるんでしたね。

よって、$1$から両端が女子になる確率を引いて$1-\frac{{}_3 \mathrm{P}_2 \times 6!}{8!} = \underline{\frac{25}{28}}$となります。

階乗だけでなく、全ての計算を最後に計算して約分すれば素早く・正確に計算できるよ。

ここでは順列の確率の問題について解説しました。

確率の問題というよりほとんど順列の問題ですが、約分を最後に行うテクニックなどを使って計算ミスを無くせるように解いていきましょう！