確率の乗法定理

問題

袋の中に赤玉$4$個と白玉$6$個が入っている。この袋から玉を$1$個取り出し、それを戻さずにもう$1$個取り出すとき、次の確率を求めよ。

$(1)$ $2$個とも赤玉である確率

$(2)$ $1$個目が赤玉で$2$個目が白玉である確率

解説

確率の乗法定理について解説します。

「乗法定理」って何ですか？

ある事象$A$と事象$B$が同時に起こる確率$P(A \cap B)$を、条件つき確率を使って求める公式のことだよ。

乗法定理は、すでに学んだ$\textcolor{red}{条件つき確率}$の公式を変形したものです。

条件つき確率の公式 $P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ の両辺に $P(A)$ をかけると、次の公式が得られます。

条件つき確率の公式を変形しただけなんですね！

その通り！条件つき確率では$P_A(B)$を求めたけど、乗法定理では$P(A \cap B)$を直接求めるんだ。

特に「続けて取り出す」ような問題で役に立つよ。

それでは問題を見ていきましょう。

まず事象を整理します。

事象$A$：$1$個目に赤玉を取り出す

事象$B$：$2$個目に赤玉を取り出す

求めたいのは$P(A \cap B)$です。乗法定理 $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ を使いましょう。

ステップ$1$：まず$P(A)$を求めよう。袋には全部で$10$個の玉があり、そのうち赤玉は$4$個だね。

ステップ$2$：次に$P_A(B)$を求めよう。$1$個目に赤玉を取り出した後、袋の中はどうなっているかな？

玉を戻さないので、袋には赤玉$3$個と白玉$6$個の合計$9$個が残っています！

正解！それが条件つき確率の考え方だね。

ステップ$3$：乗法定理に代入します。

$1$個目の結果によって$2$個目の確率が変わるんですね。

そう！「戻さずに取り出す」ことがポイントだよ。このような抽出を$\textcolor{red}{非復元抽出}$というんだ。

今度は$(1)$と同じように考えますが、$2$個目に取り出すのが白玉に変わります。

事象$A$：$1$個目に赤玉を取り出す

事象$C$：$2$個目に白玉を取り出す

$P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$（$(1)$と同じ）

$1$個目に赤玉を取り出した後、袋には赤玉$3$個と白玉$6$個の合計$9$個が残っているので、

乗法定理より、

$(1)$と$(2)$の手順は同じだね。乗法定理を使う問題では、次のステップを意識しよう。

ところで、もし$2$つの事象が$\textcolor{red}{独立}$だったらどうなるんですか？

いい質問だね！$A$と$B$が独立なら$P_A(B) = P(B)$となるので、乗法定理は$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$になるよ。

例えば「コインを$2$回投げる」場合、$1$回目の結果が$2$回目に影響しないから独立だね。

今回のように「取り出した玉を戻さない」場合は$1$回目の結果が$2$回目に影響するので、$A$と$B$は独立ではありません。だから条件つき確率$P_A(B)$を使う必要があるのです。

ここでは確率の乗法定理について学習しました。

乗法定理 $P(A \cap B)=P(A) \times P_A(B)$ は、条件つき確率の公式を変形したもので、「$2$つの事象が同時に起こる確率」を求めるときに使います。

特に非復元抽出の問題ではよく使う定理なので、しっかり使えるようにしておきましょう！