くじ引きの確率②

問題

$10$本のくじの中に当たりくじが$4$本ある。 $A,B,C$の$3$人が順番に1本ずつこのくじを引くとき、以下を求めよ。

解説

くじ引きの問題について解説します。

$3$人とも当たるということは、$A$が当たりを引いたあと$B$も当たりを引き、$C$も当たりを引くということです。

まずは、$A$が当たりを引く確率について考えてみましょう。

$10$本のくじの中に$4$本の当たりがあるので$\frac{4}{10}$となりますね。

次に$B$が当たりを引く確率について考えます。

$B$が当たりを引く確率も$\frac{4}{10}$ですか？

一旦状況を整理してみようか。

10本のくじの中に4本の当たりがあったけれど、Aがすでに当たりくじを引いているから残っているのは当たりくじ3本を含む9本のくじだね。

それをふまえてBが当たりを引く確率はどうなるかな？

$\frac{3}{9}$です！

$9$本のくじの中に$3$本の当たりくじがあるので、$B$が当たりくじを引く確率は$\frac{3}{9}$となりますね。

次に$C$が当たりを引く確率について考えます。

同様に考えるなら、$8$本のくじの中に$2$本の当たりがあるので$\frac{2}{8}$ですか？

その通り。

$A$と$B$が引いたくじのことを考えれば$\frac{2}{8}$となります。

ここまでで、

1. $A$が当たりを引く確率は$\frac{4}{10}$
2. $A$が当たりを引いた後に$B$が引いて当たりを引く確率は$\frac{3}{9}$
3. $A$と$B$が当たりを引いた後に$C$が引いて当たりを引く確率は$\frac{2}{8}$

だということがわかりました。

これらを掛け合わせる(乗法定理)ことで確率を求めることができます。

$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \underline{\frac{1}{30}}$となりますね。

それでは次の問題を解説します。

「$A$だけが当たる」ということは、$A$が当たりのくじを引いて$B$と$C$ははずれのくじを引くということです。

$(1)$と同じように考えていきましょう。

まず、$A$が当たる確率は$\frac{4}{10}$です。その後$B$がはずれのくじを引く確率はどう計算できるでしょうか？

$9$本のくじの中に$3$本の当たりが入っているので、外れる確率は$\frac{6}{9}$となります。

3本の当たりが入っているということは、6本のはずれが入っていると分かるね。

次に、$C$がはずれのくじを引く確率について考えます。

$8$本のくじの中に$3$本の当たりが入っているので、$\frac{5}{8}$となります。

これらを掛け合わせることにより、$A$だけが当たる確率は$\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \underline{\frac{1}{6}}$となります。

この問題を見て何か気づくかな？

答えは$\frac{4}{10}$です！

その通り。くじ引きの確率①でも扱ったように、くじ引きで当たる確率に順番は関係ないんだったね。

$(3)$では、$A$や$B$は関係なく「$C$が当たる確率」について問われています。

そのため$C$が当たる確率は、$\frac{4}{10} = \underline{\frac{2}{5}}$となります。

ここではくじ引きの問題について解説しました。

くじ引きの問題では、当たりくじとはずれくじが何本残っているのかを明確にしていくことが重要です。

繰り返し問題を解いてマスターしてくださいね！