独立試行の確率

問題

コインを$2$枚同時に投げるとき、$2$枚とも表が出る確率を求めよ。

また、赤い袋には赤玉$3$個と白玉$2$個、白い袋には赤玉$1$個と白玉$4$個が入っている。それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。

$(1)\quad$ $2$個とも赤玉である確率

$(2)\quad$ $2$個とも同じ色の玉である確率

$(3)\quad$ 少なくとも$1$個が赤玉である確率

解説

独立試行の確率の問題について解説します。

「独立な試行」ってどういう意味ですか？

いい質問だね！「独立な試行」とは、一方の試行の結果が他方の試行の結果に影響を与えないことを言うんだ。

例えば、コインを$2$枚投げるとき、$1$枚目の結果が表でも裏でも、$2$枚目が表になる確率は変わらないよね。

なるほど。では独立な試行の確率はどうやって求めるんですか？

独立な試行では、それぞれの確率を掛け合わせればいいんだよ。公式を見てみよう。

確率をかけるだけでいいんですね！

そうだよ。ただし「独立」であることが前提だからね。

ちなみに、「独立」と「排反」は全く別の概念だから混同しないように注意しよう。

それでは問題を解いていきましょう。

$2$枚のコインはそれぞれ独立に投げるので、一方の結果が他方に影響しません。

$1$枚目が表になる確率は$\frac{1}{2}$、$2$枚目が表になる確率も$\frac{1}{2}$です。

よって、$2$枚とも表が出る確率は

樹形図で見ると全部で$4$通りあって、$2$枚とも表になるのは$1$通りだから$\frac{1}{4}$だね。

次に、袋から玉を取り出す問題を見ていきましょう。

赤い袋と白い袋から$1$個ずつ取り出すので、$2$つの試行は独立です。

まず、それぞれの袋から各色の玉を取り出す確率を整理しておきます。

• 赤い袋: 赤玉$\frac{3}{5}$、白玉$\frac{2}{5}$

• 白い袋: 赤玉$\frac{1}{5}$、白玉$\frac{4}{5}$

赤い袋から赤玉、白い袋から赤玉を取り出せばよいので、

それぞれの確率をかけるだけですね！

$2$個とも同じ色になるのは、「$2$個とも赤玉」または「$2$個とも白玉」のときです。

「$2$個とも赤」と「$2$個とも白」は同時には起こらない、つまり排反だから確率を足し合わせればいいよ。

$2$個とも赤玉の確率は$(1)$より$\frac{3}{25}$です。

$2$個とも白玉の確率は$\frac{2}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{25}$です。

よって、$2$個とも同じ色の確率は

「少なくとも$1$個」って場合が多そうで大変です...

「少なくとも$1$個」のときは、余事象を使うと楽だよ。

「少なくとも$1$個が赤」の余事象は「$1$個も赤がない」、つまり「$2$個とも白」だね。

$2$個とも白玉の確率は$\frac{2}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{25}$なので、

「少なくとも$1$つは〜」という問題は余事象を考えるのが定石だよ。覚えておこう！

独立な試行が$3$つ以上あるときはどうなりますか？

同じように、全ての確率をかけ合わせればいいよ。

例えばコインを$3$枚投げて全部表になる確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$だね。

ここでは独立試行の確率について学習しました。

独立な$2$つの試行の確率は、それぞれの確率をかけ合わせるだけで求められます。

「独立」と「排反」の違いをしっかり理解して、余事象の考え方と合わせて使いこなせるようになりましょう！