期待値

問題

$(1)\quad$ $1$個のさいころを$1$回投げるとき、出る目の期待値を求めよ。

$(2)\quad$ $26$本のくじの中に$1$等$1000$円が$1$本、$2$等$100$円が$5$本、はずれが$20$本ある。このくじを$1$本引くとき、もらえる金額の期待値を求めよ。

$(3)\quad$ $(2)$のくじが$1$本$50$円で売られているとき、このくじを買うことは得といえるか。

解説

期待値の問題について解説します。

期待値ってなんですか？

「平均的にどのくらいの値が期待できるか」を表す数値のことだよ。

確率を使って計算するんだ。

期待値は、$X$が取りうる各値に、その値を取る確率をかけて足し合わせたものです。

各値とその確率をかけて全部足すんですね！

その通り！実際に問題を解いて慣れていこう。

さいころの出る目$X$は$1, 2, 3, 4, 5, 6$のいずれかで、それぞれの確率は$\frac{1}{6}$です。

確率の表にまとめると次のようになります。

期待値の定義に当てはめると、

となります。

$3.5$ということは、実際には出ない数字ですね。

いいところに気づいたね！期待値は「何回も繰り返したときの平均値」なので、実際に出る値でなくても構わないんだ。

何回もさいころを振れば、出た目の平均は$3.5$に近づいていくよ。

もらえる金額$X$と確率を表にまとめましょう。

はずれは賞金$0$円だから$X=0$として計算するよ。

確率の合計が$\frac{1+5+20}{26}=1$になっていることも確認しておこう。

期待値を計算すると、

$\frac{750}{13} \fallingdotseq 57.7$円ですね。

そうだね。$1$回くじを引くと、平均して約$58$円もらえるということになるんだ。

$(2)$で求めた期待値は約$57.7$円でした。くじの値段は$50$円なので、期待値$>$値段 です。

平均して約$58$円分もらえるのに$50$円しか払わないわけだから、得ということになるね。

つまり、$\underline{\text{得といえる}}$。

期待値を使えば、くじやゲームが得かどうか判断できるんですね！

その通り！期待値は色々な場面で役に立つから、計算の仕方をしっかり覚えておこう。

ここでは期待値について学習しました。

期待値は「$X$の値$\times$確率」の総和で求められ、「平均的にどのくらいの値が期待できるか」を表します。

くじ引きやゲームの損得判断にも使える重要な概念なので、しっかりマスターしてくださいね！