条件つき確率

問題

真実を述べる確率が$\frac{4}{5}$の人が$3$人いるとする。硬貨を$1$枚投げるとき、以下の確率を求めよ。

$(1)$ $3$人とも「表が出た」と言う確率

$(2)$ $3$人とも「表が出た」と言い本当に表が出た確率

解説

条件つき確率の問題について解説します。

「条件つき確率」とはなんですか？

この問題であれば$(2)$のような確率のことだよ。

ある事象が起こったという条件で、別の事象が起こる確率を「条件つき確率」と言うんだ。

それでは$(1)$から順番に見ていきましょう。

まず、「表が出た」と$3$人が言う状況は、以下の$2$通りのみです。

1. 本当に表が出ていて、全員本当のことを言っているとき
2. 裏が出ているが、全員嘘をついているとき

$(1)$は、この$2$通りしかないことを見抜けるかがポイントだよ。

順番に確率を考えていきましょう。

実際の硬貨で表が出る確率は$\frac{1}{2}$であり、3人が全員本当のことを言う確率は$\left(\frac4 5\right)^3$なので$\frac{1}{2}\times \left(\frac4 5\right)^3$となります。

実際の硬貨で裏が出る確率は$\frac 1 2$であり、$3$人が全員嘘をつく確率は$\left(\frac1 5\right)^3$なので$\frac 1 2 \times \left(\frac1 5\right)^3$となります。

以上①②を足し合わせることにより、$3$人とも「表が出た」と言う確率は$\frac{1}{2}\times \left(\frac4 5\right)^3 + \frac 1 2 \times \left(\frac1 5\right)^3 = \underline{\frac{13}{50}}$となります。

それでは次の問題を見ていきましょう。

この問題が今回のテーマである「条件つき確率」の問題です。

ここで、条件つき確率の公式をみてみましょう。

$(2)$で、どの事象が$A$でどの事象が$B$なのかを明確にすると以下のようになります。

事象$A$: $\underline{3人とも「表が出た」と言う}$

事象$B$: $\underline{本当に表が出た}$

$(1)$では、まさに$P_A (B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$における$P(A)$を求めました。

あとは$P(A \cap B)$が分かればよいですね。

$P(A \cap B)$を言葉に直すと「本当に表が出ていて、全員本当のことを言っている確率」となります。

何かピンとくるかな？

これ、$(1)$の①で求めました！

「本当に表が出ていて、全員本当のことを言っている確率」は$\frac{1}{2}\times \left(\frac4 5\right)^3$と求めていましたね。

よって、求める条件つき確率は${P_A (B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{2}\times \left(\frac4 5\right)^3}{\frac{13}{50}}}=\underline{\frac{64}{65}}$となります。

求め方は分かりましたが、なんだか解き方がしっくりきません。公式を覚えればいいですか？

条件つき確率の問題をみたら、以下のステップで解くのがおすすめだよ。

一番重要なポイントは、「事象$A$と事象$B$を明確にすること」です。

慣れるまでは今回の問題のように、

事象$A$: $\underline{3人とも「表が出た」と言う}$

事象$B$: $\underline{本当に表が出た}$

と実際に書いてみるのがおすすめです。

最初は慣れないかもしれないけど、毎回同じ解き方をしていれば必ず解けるようになるよ。

分かりました！

ここでは条件つき確率の問題について解説しました。

条件つき確率を苦手とする人も多いと思いますが、何度も解いて慣れていけば確実に解けるようになります。

絶対にマスターしてくださいね！