余事象の確率

問題

$(1)\quad$ $1$個のサイコロを$3$回投げるとき、少なくとも$1$回は$6$の目が出る確率を求めよ。

$(2)\quad$ 赤玉$3$個と白玉$2$個の計$5$個の玉が入った袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも$1$個は赤玉が含まれる確率を求めよ。

解説

余事象の確率について解説します。

「余事象」ってなんですか？

ある事象$A$に対して、「$A$が起こらない」という事象のことを$A$の余事象と言って、$\overline{A}$と書くよ。

例えば「$6$の目が出る」の余事象は「$6$の目が出ない」だね。

余事象の確率には以下の重要な公式があります。

この公式はどういうときに使うんですか？

問題文に「少なくとも$1$つ」「少なくとも$1$回」という表現が出てきたら、余事象を使うことを考えよう！

直接求めると場合分けが大変でも、余事象なら簡単に計算できることが多いんだ。

それでは実際に問題を解いていきましょう。

まず、「少なくとも$1$回は$6$の目が出る」を直接求めるとどうなるか考えてみようか。

$6$がちょうど$1$回出る場合、ちょうど$2$回出る場合、$3$回とも$6$が出る場合...

場合分けが多くて大変そうです。

そうだね。こういう場合は余事象を考えるのがポイントだよ！

「少なくとも$1$回は$6$の目が出る」の余事象は「$3$回とも$6$の目が出ない」です。

$1$回のサイコロ投げで$6$が出ない確率は$\frac{5}{6}$ですね。

$3$回とも独立に投げるので、$3$回とも$6$が出ない確率は

よって、少なくとも$1$回は$6$の目が出る確率は

余事象を使うと場合分けをしなくていいから楽ですね！

その通り！直接求めようとすると$3$パターンに場合分けしないといけないけど、余事象なら$1$発で求められるね。

こちらも「少なくとも$1$個」とあるので余事象を考えましょう。

まず、$5$個の玉から$2$個を取り出す場合の総数は${}_5 \mathrm{C}_2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$通りです。

「少なくとも$1$個は赤玉が含まれる」の余事象は「赤玉が$1$個も含まれない」、つまり「$2$個とも白玉」です。

白玉は$2$個しかないから、$2$個とも白玉になる場合の数はすぐにわかるね。

$2$個とも白玉を取り出す場合の数は${}_2 \mathrm{C}_2 = 1$通りです。

よって、$2$個とも白玉になる確率は$P(\overline{A}) = \frac{1}{10}$となります。

したがって、少なくとも$1$個は赤玉が含まれる確率は

$\frac{9}{10}$ということは、$10$回中$9$回は赤玉が出るってことですか。赤玉が$3$個もあるから高いんですね。

いい感覚だね！赤玉$3$個、白玉$2$個で赤が多いから、赤が$1$つも入らない方がレアなんだ。

ちなみに、この問題を直接求めようとすると「赤$1$個白$1$個」と「赤$2$個」の$2$パターンに分ける必要があるんだけど、余事象なら一発だったね。

最後に、余事象を使うべき問題の見分け方をまとめておきましょう。

ここでは余事象の確率について学習しました。

余事象の考え方は「$P(A) = 1 - P(\overline{A})$」というシンプルな公式ですが、確率の問題で非常によく使われます。

「少なくとも」という言葉を見たら余事象を思い出して、ぜひ活用してくださいね！