ベイズの定理（原因の確率）

問題

ある製品を工場$\text{A}$と工場$\text{B}$の$2$つの工場で生産している。工場$\text{A}$は全体の$60\%$を生産し、その不良品率は$2\%$である。工場$\text{B}$は全体の$40\%$を生産し、その不良品率は$5\%$である。

$(1)\quad$ 製品を$1$つ取り出したとき、それが不良品である確率を求めよ。

$(2)\quad$ 取り出した製品が不良品であったとき、それが工場$\text{A}$で生産されたものである確率を求めよ。

解説

ベイズの定理（原因の確率）の問題について解説します。

「原因の確率」ってどういう意味ですか？

いい質問だね。ふつう確率は「原因→結果」の方向で考えるよね。

でもこの問題の$(2)$では、「不良品だった（結果）」ことが分かった上で「工場Aで作られた（原因）」確率を求めるんだ。

つまり「結果→原因」の方向に確率を求めるから「原因の確率」と呼ぶんだよ。

まずは条件つき確率の公式を確認しておきましょう。

それでは$(1)$から順番に見ていきましょう。

まずは問題の状況を樹形図（ツリー図）で整理してみよう。

不良品が出る場合は$2$つのパターンがあります。

1. 工場$\text{A}$の製品が不良品であるとき
2. 工場$\text{B}$の製品が不良品であるとき

それぞれの確率を求めましょう。

$\text{(1)}$ 工場$\text{A}$の製品が不良品である確率: $\frac{60}{100} \times \frac{2}{100} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{50} = \frac{3}{250}$

$\text{(2)}$ 工場$\text{B}$の製品が不良品である確率: $\frac{40}{100} \times \frac{5}{100} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{50}$

したがって、不良品である確率は

このように、全ての原因を通じて結果が起こる確率を求める公式を「全確率の公式」というよ。

それでは次の問題を見ていきましょう。

この問題が今回のテーマである「原因の確率」の問題です。

「不良品だった」という結果が分かっているから、そこから原因（どの工場か）を逆にたどるんですね。

その通り！条件つき確率の公式を使って求めてみよう。

ここで、各事象を整理しましょう。

事象$A$: $\underline{\text{不良品である}}$（結果）

事象$B$: $\underline{\text{工場Aで生産された}}$（原因）

求めたいのは $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ です。

$P(A)$は$(1)$で求めた $\frac{4}{125}$ です。

$P(A \cap B)$は「工場$\text{A}$で作られた製品が不良品である確率」なので $\frac{3}{250}$ です。

よって

工場$\text{A}$は全体の$60\%$を作っているのに、不良品が工場$\text{A}$由来である確率は$\frac{3}{8}=37.5\%$しかないんですね！

そうだね。工場$\text{A}$は不良品率が$2\%$と低いから、たくさん作っていても不良品の「犯人」としては確率が低くなるんだ。

逆に工場$\text{B}$は生産量は少ないけど不良品率が$5\%$と高いから、不良品が工場$\text{B}$由来である確率は$\frac{5}{8}=62.5\%$と高くなるよ。

この解法を一般化したものがベイズの定理です。

公式が複雑ですね...覚えないとダメですか？

公式を丸暗記する必要はないよ！

大切なのは「分母は全確率の公式で全体の確率を求め、分子は特定の原因を経由する確率を求める」という考え方だよ。

樹形図を書いて整理すれば、自然と公式の形になるからね。

ここではベイズの定理（原因の確率）について学習しました。

ポイントは、「結果が起きた確率（全確率）」を分母に、「特定の原因を経由して結果が起きた確率」を分子にして条件つき確率を求めることです。

樹形図を使って整理すると分かりやすいので、ぜひ活用してくださいね！