高校数学の解法 高校数学の解き方と勉強法を、わかりやすくまとめた学習サイト

整数

約数と倍数

約数の個数と総和

整数の「約数と倍数」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「約数の個数と総和」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学A 約8分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

約数と倍数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

約数の個数と総和の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 約数の個数と総和
  • ポイント: 整数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

360360の正の約数について、次の問いに答えよ。

(1)(1)\quad 正の約数の個数を求めよ。

(2)(2)\quad 正の約数の総和を求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; 24個‾\underline{24個}

(2)  (2)\; 1170‾\underline{1170}

解説

約数と倍数の問題について解説します。

約数ってなんでしたっけ？

ある整数を割り切る整数のことだよ。

例えば 1212 の正の約数は 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 の66個だね。

まず、約数・倍数の定義を確認しましょう。

約数の個数や総和を求めるには、素因数分解\textcolor{red}{素因数分解}を利用します。

素因数分解を使えば、約数の個数と総和を公式で求められるよ。公式を確認しよう！

なぜ指数に11を足して掛けるんですか？

約数は各素因数の「何乗を使うか」の組合せで決まるんだ。

例えばp1a1p_1^{a_1}について、p10,p11,⋯ ,p1a1p_1^0, p_1^1, \cdots, p_1^{a_1}のa1+1a_1+1通りの選び方があるよね。

それぞれの素因数で独立に選べるから、掛け合わせれば全体の個数になるんだ。

それでは例題を解いていきましょう。

(1)(1)\quad 360360の正の約数の個数を求めよ。

まず360360を素因数分解します。

360=2×180360 = 2 \times 180
=2×2×90= 2 \times 2 \times 90
=2×2×2×45= 2 \times 2 \times 2 \times 45
=2×2×2×9×5= 2 \times 2 \times 2 \times 9 \times 5
=23×32×5= 2^3 \times 3^2 \times 5

素因数分解ができたら公式に当てはめよう！

360=23×32×51360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 なので、約数の個数の公式より

(3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24個‾(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = \underline{24個}

素因数分解さえできれば簡単ですね！

その通り！次は約数の総和を求めてみよう。

(2)(2)\quad 360360の正の約数の総和を求めよ。

約数の総和にも公式があります。

なぜこの式で総和が求まるんですか？

この式を展開してみるとわかるよ。

展開すると、各カッコから11項ずつ選んで掛けたものの和になるよね。

それがまさに全ての約数を11つずつ生成しているんだ。

360=23×32×51360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 に公式を当てはめると、

(1+2+22+23)(1+3+32)(1+5)(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)
=(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)= (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)
=15×13×6= 15 \times 13 \times 6
=1170‾= \underline{1170}

計算ミスに気を付けてね！各カッコ内の和を正確に求めることがポイントだよ。

このページのまとめ

ここでは約数の個数と総和の公式について学習しました。

どちらの公式も素因数分解\textcolor{red}{素因数分解}がスタートになるので、素因数分解を正確にできるようにしておきましょう。

整数問題では頻出のテーマなので、ぜひマスターしてくださいね！

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。 類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。約数と倍数 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問 解法の鍵 類題演習 AIに質問
App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。