整数の割り算と余り

問題

$(1)\quad$ 整数$n$を$3$で割った余りで分類し、$n^2$を$3$で割った余りを求めよ。

$(2)\quad$ $n$が整数のとき、$n^2+n$は$2$の倍数であることを証明せよ。

$(3)\quad$ 連続する$3$つの整数の積は$6$の倍数であることを証明せよ。

解説

整数の割り算と余りについて解説します。

まずは「除法の定理」を確認しましょう。

これって小学校で習った割り算と同じですか？

基本的な考え方は同じだよ。

ポイントは余り$r$が$0 \leqq r < b$を必ず満たすということ。つまり余りは$0$以上$b$未満の整数になるんだ。

例えば$17$を$5$で割ると、$17 = 5 \times 3 + 2$で商$q=3$、余り$r=2$です。

この定理を使うと、任意の整数を余りで分類することができます。

それでは問題を見ていきましょう。

整数$n$を$3$で割った余りで分類すると、何通りに分かれるかな？

余りは$0$, $1$, $2$の$3$通りだから、$3$つのグループに分けられます！

その通り！それぞれの場合で$n^2$を$3$で割った余りを調べてみよう。

整数$k$を用いて$n=3k, 3k+1, 3k+2$の$3$つの場合に分けます。

$\textbf{(i)}\;$ $n=3k$のとき

よって$n^2$を$3$で割った余りは$\textcolor{red}{0}$

$\textbf{(ii)}\;$ $n=3k+1$のとき

よって$n^2$を$3$で割った余りは$\textcolor{red}{1}$

$\textbf{(iii)}\;$ $n=3k+2$のとき

よって$n^2$を$3$で割った余りは$\textcolor{red}{1}$

あれ、(ii)と(iii)で余りが同じ$1$になるんですね！

いい気づきだね！つまり$n^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$のどちらかしかないということだよ。

この性質はいろいろな証明問題で使えるので覚えておこう。

「$2$の倍数」ということは偶数だね。

整数$n$を$2$で割った余りで分類してみよう。

整数$n$を偶数・奇数で場合分けします。

最初に因数分解するのがポイントですか？

その通り！$n(n+1)$は「連続する$2$つの整数の積」になっているよね。

連続する$2$つの整数のうちどちらかは必ず偶数だから、その積は$2$の倍数になるんだ。

場合分けしなくても、この考え方で一発で示せるよ。

$6$の倍数であることを示すには、$2$の倍数かつ$3$の倍数であることを示せばいいんだ。

余りによる分類を使ってみよう！

連続する$3$つの整数を$n, n+1, n+2$とおきます。

連続する$3$つの整数のうち$1$つは$3$の倍数になるんですね！

そうだね！一般に、連続する$n$個の整数の積は$n!$の倍数になるんだ。

これは覚えておくと便利だよ。

ここでは整数の割り算と余りについて学習しました。

「除法の定理」を使って整数を余りで分類し、それぞれの場合を調べる方法は整数問題の基本テクニックです。

特に「連続する整数の積」に関する性質は証明問題でよく出るので、しっかりマスターしてくださいね！