n進法

問題

$(1)\quad$ $2$進法で表された数$110101_{(2)}$を$10$進法で表せ。

$(2)\quad$ $10$進法で表された数$83$を$5$進法で表せ。

$(3)\quad$ $3$進法で表された数$2101_{(3)}$を$5$進法で表せ。

解説

n進法の問題について解説します。

n進法ってなんですか？

普段私たちが使っている数は$0$~$9$の$10$個の数字を使って表しているよね。これが$\textcolor{red}{10進法}$だよ。

同じように$n$個の数字（$0$~$n-1$）を使って数を表す方法が$\textcolor{red}{n進法}$なんだ。

例えば$2$進法では$0$と$1$の$2$つの数字だけを使い、$5$進法では$0$~$4$の$5$つの数字を使います。

まず、$10$進法の仕組みを改めて確認しましょう。

n進法でも同じ考え方です。各位の重みが$n$のべき乗になります。

まずはn進法から$10$進法への変換だね。各位の数字に$2$のべき乗をかけて足し合わせよう。

$110101_{(2)}$の各位を右から順に$2^0, 2^1, 2^2, \cdots$の重みで展開します。

$2$のべき乗を順番にかけていくだけですね！

その通り！$2$のべき乗は$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \cdots$だよ。よく使うから覚えておくと便利だね。

今度は逆に、$10$進法からn進法への変換です。

$10$進法からn進法にするにはどうすればいいですか？

$n$で繰り返し割って、余りを逆順に並べればいいんだよ。

実際にやってみよう！

$83$を$5$で繰り返し割っていきます。

$83 \div 5 = 16$ あまり $\textcolor{red}{3}$

$16 \div 5 = 3$ あまり $\textcolor{red}{1}$

$3 \div 5 = 0$ あまり $\textcolor{red}{3}$

余りを下から順に並べると $\underline{313_{(5)}}$ となります。

割り算を繰り返して余りを逆から読むんですね！

そうだよ！検算として、$313_{(5)}$を$10$進法に戻してみよう。

$3 \times 5^2 + 1 \times 5 + 3 = 75 + 5 + 3 = 83$ になるから正しいね。

$3$進法から$5$進法に直接変換できるんですか？

直接変換するのは難しいから、一度$10$進法に直してから$5$進法に変換しよう。

これがn進法どうしの変換の基本的なやり方だよ。

まず$2101_{(3)}$を$10$進法に変換します。

次に$64$を$5$進法に変換します。

$64 \div 5 = 12$ あまり $\textcolor{red}{4}$

$12 \div 5 = 2$ あまり $\textcolor{red}{2}$

$2 \div 5 = 0$ あまり $\textcolor{red}{2}$

余りを下から順に並べると $\underline{224_{(5)}}$ となります。

n進法どうしの変換は「$10$進法を経由する」と覚えておこう！

ここではn進法の問題について学習しました。

n進法から$10$進法への変換は「各位に$n$のべき乗をかけて足す」、$10$進法からn進法への変換は「$n$で割り続けて余りを逆順に並べる」がポイントです。

異なるn進法どうしの変換は$10$進法を経由して行います。しっかり練習して得点源にしましょう！