$2^{100}$ を 7 で割った余りは、どうやって周期を見つけるの？

合同式（mod）では、整数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

合同式で余りだけ見てよい理由は？

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べき乗の余りを素早く求めるコツを教えて

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合同式（mod）の解き方 | 数学Aの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

合同式（mod）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

余りの計算と基本性質の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 余りの計算と基本性質
ポイント: 整数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

$(1)\quad$ $2^{100}$ を $7$ で割った余りを求めよ。

$(2)\quad$ $3^{50}$ を $5$ で割った余りを求めよ。

答えを見る

$(1)\;$ $\underline{2}$

$(2)\;$ $\underline{4}$

解説

合同式（mod）の問題について解説します。

合同式ってなんですか？

合同式は、整数を「ある数で割った余り」に注目して考える方法だよ。

余りが等しいことを記号で表すんだ。

まず、合同式の定義を確認しましょう。

例えば、 $17$ と $5$ は $12$ で割ると両方余りが $5$ だから、 $17 \equiv 5 \pmod{12}$ ということですか？

その通り！ $17 - 5 = 12$ は $12$ の倍数だから合同だね。

次に、合同式の便利な性質を見ていこう。

特にべき乗の性質がポイントだよ。

余りを先に取ってからべき乗しても、結果の余りは変わらないんだ。

それでは例題を解いていきましょう。

$(1)\quad$ $2^{100}$ を $7$ で割った余りを求めよ。

$2^{100}$ なんてとても計算できません...

直接計算する必要はないよ！

合同式を使えば、 $2$ のべき乗を $7$ で割った余りの「周期性」を見つけることができるんだ。

まず、 $2$ のべき乗を $7$ で割った余りを順番に計算してみましょう。

2^1 \equiv 2 \pmod{7}

2^2 \equiv 4 \pmod{7}

2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}

あ！ $2^3$ で余りが $1$ になりました！

いいところに気づいたね！余りが $1$ になると、そこから先は同じ周期で繰り返すんだ。

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ がわかれば、両辺をべき乗できるよ。

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ の両辺を $33$ 乗すると、

(2^3)^{33} \equiv 1^{33} \pmod{7}

2^{99} \equiv 1 \pmod{7}

両辺に $2$ を掛けると、

2^{99} \times 2 \equiv 1 \times 2 \pmod{7}

2^{100} \equiv 2 \pmod{7}

よって、 $2^{100}$ を $7$ で割った余りは $\underline{2}$ です。

ポイントは、 $100 = 3 \times 33 + 1$ と分解したところだよ。

余りが $1$ になるべき乗を見つけて、指数を分解するのがコツだね。

$(2)\quad$ $3^{50}$ を $5$ で割った余りを求めよ。

$(1)$ と同じように、 $3$ のべき乗を $5$ で割った余りを調べていきましょう。

3^1 \equiv 3 \pmod{5}

3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}

3^3 \equiv 3 \times 4 \equiv 12 \equiv 2 \pmod{5}

3^4 \equiv 3 \times 2 \equiv 6 \equiv 1 \pmod{5}

$3^4$ で余りが $1$ になりました！

その通り！あとは $(1)$ と同じ要領で計算していこう。

$3^4 \equiv 1 \pmod{5}$ の両辺を $12$ 乗すると、

(3^4)^{12} \equiv 1^{12} \pmod{5}

3^{48} \equiv 1 \pmod{5}

両辺に $3^2 \equiv 4 \pmod{5}$ を掛けると、

3^{48} \times 3^2 \equiv 1 \times 4 \pmod{5}

3^{50} \equiv 4 \pmod{5}

よって、 $3^{50}$ を $5$ で割った余りは $\underline{4}$ です。

今回は $50 = 4 \times 12 + 2$ と分解したよ。

$3^2 \equiv 4 \pmod{5}$ がわかっていたからスムーズに計算できたね。

合同式を使うと、大きなべき乗の余りも簡単に求められるんですね！

そうだよ！解き方をまとめておこう。

このページのまとめ

ここでは合同式（mod）の定義と基本性質について学習しました。

合同式を使うと、大きな数のべき乗の余りを効率的に求めることができます。

ポイントは「余りが $1$ になるべき乗を見つけること」と「指数を分解すること」です。

整数の問題で頻出なので、ぜひマスターしてくださいね！

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