1次不定方程式の整数解の個数

問題

$3x+5y=38$ について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ 整数解をすべて求めよ。

$(2)\quad$ 正の整数解をすべて求め、その個数を答えよ。

解説

1次不定方程式の整数解の個数を求める問題について解説します。

不定方程式の解って無数にあるんですよね？「正の整数解の個数」ってどうやって求めるんですか？

いい質問だね。まず一般解を求めて、そのあと $x>0,\; y>0$ という条件を不等式として使って解を絞り込むんだ。

この問題は次の手順で解いていきます。

まず1組の解を見つけよう。$3x+5y=38$ を満たす整数の組を探してみてね。

$x=1$ のとき $3+5y=38$ だから $y=7$ ですね！$x=1,\; y=7$ が1組の解です。

正解！検算すると $3 \times 1 + 5 \times 7 = 3+35 = 38$ でバッチリだね。

1組の特殊解 $x=1,\; y=7$ が見つかったので、一般解を求めましょう。

元の方程式 $3x+5y=38$ から特殊解の式 $3 \cdot 1+5 \cdot 7=38$ を引くと、

移項して $3(x-1)=-5(y-7)$ となります。

$3$ と $5$ は互いに素なので、整数 $k$ を用いて

と表せます。よって一般解は

$(1)$ で求めた一般解に $x>0$ かつ $y>0$ の条件を当てはめよう。

$x>0$ より $5k+1>0$、すなわち $k>-\frac{1}{5}$ なので

$y>0$ より $-3k+7>0$、すなわち $k<\frac{7}{3}$ なので

①と②より、$k$ は整数だから

$k$ の値が3つだから、正の整数解は3組あるんですね！

それぞれの $k$ の値に対する $(x, y)$ を求めると、

• $k=0$ のとき：$(x, y) = (1, 7)$

• $k=1$ のとき：$(x, y) = (6, 4)$

• $k=2$ のとき：$(x, y) = (11, 1)$

よって、正の整数解は $(x,y)=(1,7),(6,4),(11,1)$ の $\underline{3}$ 組です。

検算してみよう。$3 \times 6 + 5 \times 4 = 18+20 = 38$、$3 \times 11 + 5 \times 1 = 33+5 = 38$。どちらもOKだね！

解が合っていて安心しました！この方法なら、正の整数解を漏れなく求められますね。

ここでは1次不定方程式の正の整数解の個数を求める問題について学習しました。

一般解を求め、条件に応じた不等式を立てて $k$ の範囲を絞り込むのがポイントです。

検算も忘れずに行い、確実に正解を出せるようにしましょう！