2元1次不定方程式③

問題

次の方程式の整数解をすべて求めよ。

解説

不定方程式の問題について解説します。

1組の解が簡単に見つかりそうにないからユークリッドの互除法を使おうかな。

そうだね。でもこのままユークリッドの互除法を使っても解は求められないよ。

[2元1次不定方程式②]で扱った$1$次不定方程式である$79x+35y=1$ならばどうでしょうか？

$ax+by=c$において$a,b$が互いに素であり、$c$が$1$の場合はユークリッドの互除法を用いることで解を求めることができましたね。

右辺が$c(\neq 1)$の$2$元$1$次不定方程式でユークリッドの互除法を使うときは右辺を1として解を求めてから$c$倍してあげることで解を求めることができるんだ。

例題を解きながら実際に確認していきましょう。

右辺が$4$なのでまずは$79x+35y=1$としてユークリッドの互除法を使うことにより解を求め、その後両辺を$4$倍することで$79x+35y=4$の1組の整数解を確実に求めることができます。

まずは$79x+35y=1$の$1$組の解を求めていきましょう。

具体的な計算方法については、[2元1次不定方程式②]にて解説しているので分からない方はそちらを先に学習してくださいね。

$79x+35y=1$の$1$組の解は以下のように求めることができます。

$79\cdot 4 -35\cdot 9 =1\cdots ☆$と解を求めることができましたね。

ここで、元の不定方程式である$79x+35y=4$の解を求めるために$☆$の両辺を$4$倍します。

すると$79\cdot 16 -35\cdot 36 =4$となることから、もともと求めたかった不定方程式の解の1組が$x=16,y=-36$であることがわかりましたね。

2元1次不定方程式の右辺が1でないときはこのようにすれば解を確実に(機械的に)求めることができるよ。

1組の解が分かったので、通常の2元1次不定方程式と同様に解いていきます。

ここでは2元1次不定方程式の問題について解説しました。

右辺が1でないときの解法を紹介しましたが、やっていることはほとんど変わらないので考え方が分かればすぐ慣れることができると思います。

色々な不定方程式の問題を解いて、パターンを覚えていってくださいね！