2元1次不定方程式①

問題

次の方程式の整数解をすべて求めよ。

解説

1次不定方程式の問題を解説します。

不定方程式とはなんですか？

$\textcolor{red}{\large解が無数に存在する}$方程式のことだよ。

この問題は$x$と$y$という$2$種類の文字が入った$1$次方程式だから、「$2$元$1$次方程式」と呼ばれるよ。

$2$元$1$次不定方程式は次のように解くことができます。

実際に例題を解きながら手順を確認していきましょう。

$1$次不定方程式を解くためには、どうにかして$1$組の解を見つける必要があります。

この例題であれば係数がさほど大きくないので、手探りで探すのが良いでしょう。

しかし全ての$1$次不定方程式で簡単に見つかるとは限らないので、係数が大きい場合や解が見つからない場合は「ユークリッドの互除法」を用いればOKです。

例題の方程式$7x-3y = 1$はどうでしょうか？

$x=1,y=2$が解です！

この問題は簡単に見つかったね。

1組の解が見つかったので次のステップにいきましょう。

ステップ①にて、$x=1,y=2$という1組の解を見つけました。

${7\cdot 1 -3\cdot 2 = 1}\cdots ☆$と書くことができますね。

この$☆$の式を元の方程式から引きます。

$7x-3y=1$から$7\cdot 1 -3\cdot 2 = 1$を引くと$7(x-1)-3(y-2)=0$と変形することができます。

次に、先ほど得た$7(x-1)-3(y-2)=0$に注目してみると、$7(x-1)=3(y-2)$となり、$3$と$7$が互いに素であることから整数$k$を用いれば$x-1=3k, y-2=7k$と表せます。

よって、求める整数解は$\underline{{x=3k+1,y=7k+2}({k}は整数)}$となります。

以上が、1次不定方程式の基本的な解法だよ！

ここでは1次不定方程式の基本的な解法について解説しました。

今回ステップ①では方程式を満たすような解が簡単に見つかりましたが、見つからない場合はユークリッドの互除法を使いましょう。

ユークリッドの互除法を使って解く問題は、次の「1次方程式②」で紹介しているので、そちらも学習してくださいね！