このページのまとめ
先に押さえておくこと
2つの円の位置関係の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。
答えの要点
図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。
- テーマ: 共通接線の本数
- ポイント: 図形の性質の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
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問題
2つの円O1、O2がある。円O1の半径は4、円O2の半径は2である。2つの円の中心間の距離をdとするとき、次の各場合について、2つの円の位置関係と共通接線の本数を答えよ。
解説
2つの円の位置関係について解説します。
2つの円には全部で5つの位置関係があるよ。
中心間の距離dと、それぞれの半径r、r′（r>r′とする）の関係で決まるんだ。
【①外部にある場合：d>r+r′】
2つの円が完全に離れている状態です。共通接線は4本引けます。
【②外接する場合：d=r+r′】
1点（接点T）で外側から接する状態です。共通接線は3本引けます。
【③2点で交わる場合：∣r−r′∣<d<r+r′】
2つの交点で交わっている状態です。共通接線は2本引けます。
【④内接する場合：d=∣r−r′∣】
1点（接点T）で内側から接する状態です。共通接線は1本引けます。
【⑤一方が他方の内部にある場合：d<∣r−r′∣】
小さい円が大きい円の中に完全に入っている状態です。共通接線は0本（引けません）。
なるほど、5つの場合があるんですね！覚えるのが大変そうです...
覚え方のコツがあるよ。2つの円が離れていく様子をイメージするんだ。
内部（0本）→ 内接（1本）→ 交わる（2本）→ 外接（3本）→ 外部（4本）と、共通接線の本数が0,1,2,3,4本と増えていくんだよ。
それでは問題を解いていきましょう！
(1) d=8のとき
円O1の半径r=4、円O2の半径r′=2なので、r+r′と∣r−r′∣を求めておきます。
r+r′=4+2=6 ∣r−r′∣=∣4−2∣=2 d=8とr+r′=6を比較すると、d=8>6=r+r′です。
よって、2つの円は外部にあり、共通接線は4本です。
(2) d=6のとき
d=6とr+r′=6を比較すると、d=6=r+r′です。
dがちょうどr+r′と等しいから、外接するんですね！
その通り！接点Tは2つの中心を結ぶ線分上にあるよ。
よって、2つの円は外接し、共通接線は3本です。
(3) d=3のとき
d=3をr+r′=6と∣r−r′∣=2と比較すると、
∣r−r′∣=2<d=3<6=r+r′ dが∣r−r′∣とr+r′の間にあるときは、2つの円が2点で交わるよ。
よって、2つの円は2点で交わり、共通接線は2本です。
結局、dの値をr+r′と∣r−r′∣と比べればいいんですね！
その通り！まずr+r′と∣r−r′∣を計算して、dがどの範囲にあるかを調べるのがポイントだよ。
表にまとめておくと整理しやすいね。
このページのまとめ
ここでは2つの円の位置関係について学習しました。
中心間の距離dと半径の和r+r′、半径の差∣r−r′∣を比較することで、位置関係と共通接線の本数を判定できます。
共通接線の本数は0,1,2,3,4本の5パターンで、2つの円が離れるほど増えていくと覚えておきましょう！
