三角形の内心

問題

$\angle \mathrm{C}=90°$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において、$\mathrm{BC}=3$、$\mathrm{CA}=4$、$\mathrm{AB}=5$とする。

$(1)\quad$ $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ。

$(2)\quad$ $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ。

解説

三角形の内心について解説します。

「内心」ってどういう点ですか？

内心は三角形の$\textcolor{red}{内接円の中心}$のことだよ。

三角形の$3$つの辺すべてに接する円を内接円というんだ。

なぜ角の二等分線の交点が内心になるんですか？

いい質問だね！角の二等分線上の点は、その角を作る$2$辺から等距離にあるという性質があるんだ。

$3$つの角の二等分線が$1$点で交わり、その点から$3$辺までの距離がすべて等しくなるんだよ。

内心の位置を図で確認してみましょう。

図のように、内心$\mathrm{I}$から$3$辺に下ろした垂線の長さがすべて等しく、それが内接円の半径$r$になります。

面積の公式 $S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$ がなぜ成り立つか、説明するね。

三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とすると、$\triangle \mathrm{ABC}$を$3$つの三角形に分割できます。

なるほど！内心から各辺までの距離$r$を高さとした$3$つの三角形に分けるんですね！

その通り！この考え方がとても大事だよ。それでは問題を解いていこう。

$\angle \mathrm{C}=90°$の直角三角形なので、$\mathrm{BC}$と$\mathrm{CA}$を底辺と高さとして面積を求められます。

$(1)$で面積$S=6$が求められたので、公式$S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$を使います。

$a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$ なので、

面積がわかっていれば、内接円の半径がすぐに求められるんですね！

そうだよ！逆に、内接円の半径と$3$辺の長さがわかっていれば面積が求められるよ。

この公式は色々な場面で使えるから覚えておこう！

ちなみに、直角三角形の内接円の半径には便利な公式があるよ。

検算にも使えそうですね！

いいところに気がついたね。直角三角形では$S = \frac{1}{2}ab$と$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$を等しいとおくことでこの公式が導けるんだ。

ここでは三角形の内心について学習しました。

内心の重要なポイントをまとめると、

• 内心は$3$つの角の二等分線の交点

• 内心から$3$辺までの距離は等しい（＝内接円の半径$r$）

• 面積の公式 $S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$

内心の性質は図形問題で頻出なので、しっかりマスターしてくださいね！