三角形の重心

問題

$\triangle \mathrm{ABC}$について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ 3つの頂点が$\mathrm{A}(1, 2)$、$\mathrm{B}(4, 5)$、$\mathrm{C}(7, 2)$であるとき、$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ。

$(2)\quad$ $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とし、中線$\mathrm{AD}$の長さが$9$であるとき、$\mathrm{AG}$と$\mathrm{GD}$の長さを求めよ。

解説

三角形の重心について解説します。

重心ってどういう点ですか？

重心とは、三角形の各頂点と対辺の中点を結んだ線分（$\textcolor{red}{中線}$）の交点のことだよ。

三角形の3本の中線は必ず1点で交わるんだ。

上の図のように、各頂点から対辺の中点へ引いた3本の中線は1点$\mathrm{G}$（重心）で交わります。

重心の座標は3つの頂点の座標の平均なんですね！

その通り！$x$座標も$y$座標もそれぞれ$3$つの値の平均をとるだけだよ。

とても覚えやすい公式だね。

それでは問題を解いていきましょう！

重心の座標の公式を使いましょう。

公式に当てはめるだけで簡単に求まりますね！

そうだね！重心の座標は「3つの頂点の座標の平均」と覚えておこう。

重心は中線を頂点側から$2:1$に内分する性質を使います。

$\mathrm{AG:GD} = 2:1$だから、$\mathrm{AD} = 9$を$2:1$に分ければいいね。

$\mathrm{AG:GD} = 2:1$より、

$2:1$の比で分けるから、$\mathrm{AG}$は$\mathrm{GD}$のちょうど$2$倍になるんですね！

その通り！重心は中線を$\textcolor{red}{\text{頂点側から}}$ $2:1$に内分する、という順番も大切だよ。

「頂点に近い方が長い」と覚えておこうね。

ここでは三角形の重心について学習しました。

重心は$\textcolor{red}{\text{3本の中線の交点}}$であり、各中線を$\textcolor{red}{\text{頂点側から2:1に内分}}$します。

座標では「3つの頂点の座標の平均」で求められるので、公式を使いこなせるようにしておきましょう！