三角形の外心

問題

$\triangle \mathrm{ABC}$の3つの頂点が$\mathrm{A}(1, 3)$、$\mathrm{B}(-1, -1)$、$\mathrm{C}(5, -1)$であるとき、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ $\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標を求めよ。

$(2)\quad$ $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ。

解説

三角形の外心について解説します。

外心ってどういう点ですか？

外心とは、三角形の$\textcolor{red}{外接円の中心}$のことだよ。

外接円は3つの頂点を全て通る円のことだね。

上の図のように、外心$\mathrm{O}$から3つの頂点$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$までの距離は全て等しくなります。

なぜ垂直二等分線の交点が外心になるんですか？

いい質問だね！垂直二等分線上の点は、線分の両端から等距離にあるよね。

だから、辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上の点は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から等距離、辺$\mathrm{BC}$の垂直二等分線上の点は$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$から等距離だよ。

その2本の交点は$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$の全てから等距離になるんだ！

外心の位置は三角形の形によって変わるよ。確認しておこう！

それぞれの場合を図で確認しましょう。

【鋭角三角形の場合】外心は三角形の内部にあります。

【直角三角形の場合】外心は斜辺の中点にあります。

【鈍角三角形の場合】外心は三角形の外部にあります。

直角三角形のとき、外心が斜辺の中点になるのは面白いですね！

そうだね！直角三角形では斜辺が外接円の直径になるんだ。

半円に対する円周角は$90°$になるという性質と関係しているよ。

それでは問題を解いていきましょう！

外心は3つの頂点から等距離にある点なので、外心を$\mathrm{O}(x, y)$とおくと、$\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC}$が成り立ちます。

$\mathrm{OA}^2 = \mathrm{OB}^2$と$\mathrm{OB}^2 = \mathrm{OC}^2$の2つの式を連立して解こう！

まず$\mathrm{OA}^2 = \mathrm{OB}^2$より、

次に$\mathrm{OB}^2 = \mathrm{OC}^2$より、

②を①に代入すると、$2+2y = 2$より$y = 0$。

よって、外心の座標は$\underline{(2, 0)}$です。

距離の2乗の条件を使うと、$x^2$や$y^2$の項が消えて計算しやすいですね！

その通り！距離を直接使うとルートが出てきて大変だから、$\textcolor{red}{\text{距離の2乗}}$で等式を立てるのがポイントだよ。

外接円の半径は外心から頂点までの距離なので、外心$\mathrm{O}(2, 0)$と頂点$\mathrm{A}(1, 3)$の距離を求めます。

検算として、$\mathrm{OB}$や$\mathrm{OC}$も計算してみよう。

$\mathrm{OB} = \sqrt{(2-(-1))^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ ✓

$\mathrm{OC} = \sqrt{(2-5)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ ✓

全部$\sqrt{10}$で一致しました！ちゃんと外心になっていますね。

完璧だね！外心の問題では、このように検算ができるのも大きなメリットだよ。

ここでは三角形の外心について学習しました。

外心は$\textcolor{red}{\text{3辺の垂直二等分線の交点}}$であり、$\textcolor{red}{\text{3つの頂点から等距離}}$にある点です。

外心の位置は三角形の形（鋭角・直角・鈍角）によって変わることも覚えておきましょう。

座標で外心を求めるときは、距離の2乗の条件から連立方程式を作るのがポイントです！