平面図形の角度問題

問題

下の図のように、直線$l$は円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{A}$における接線である。$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$は円周上の点で、四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接している。$\angle \mathrm{BAl}=35°$, $\angle \mathrm{ABD}=40°$, $\angle \mathrm{DBC}=25°$とする。

$(1)\quad$ $\angle \mathrm{ACB}$を求めよ。

$(2)\quad$ $\angle \mathrm{ADC}$を求めよ。

解説

円の性質を利用した角度の問題について解説します。

この問題では、3つの重要な定理を組み合わせて角度を求めます。まず、使う定理を確認しましょう。

3つも定理があると、どれをどこで使えばいいか迷います...

大丈夫！1つずつ順番に使っていけば解けるよ。

まずは$(1)$から見ていこう。

それでは問題を解いていきましょう！

接線$l$と弦$\mathrm{AB}$のなす角$\angle \mathrm{BAl}=35°$が与えられています。

接線と弦のなす角が出てきたら、まず$\textcolor{red}{\text{接弦定理}}$を思い出そう！

接弦定理より、接線$l$と弦$\mathrm{AB}$のなす角は、弧$\mathrm{AB}$に対する円周角$\angle \mathrm{ACB}$に等しいので、

接弦定理を使えば一発で求まるんですね！

その通り！接線と弦のなす角が出てきたら接弦定理、これが鉄則だよ。

$(2)$では、$\angle \mathrm{ADC}$を求めます。ここでは$\textcolor{red}{\text{円に内接する四角形}}$の性質を使いましょう。

まず$\angle \mathrm{ABC}$を求めよう。問題文で$\angle \mathrm{ABD}=40°$、$\angle \mathrm{DBC}=25°$と与えられているね。

四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接しているから、対角の和が$180°$ですよね？

正解！$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{D}$は対角だから、和が$180°$になるよ。

円に内接する四角形の性質より、$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180°$ なので、

$(1)$で接弦定理、$(2)$で円に内接する四角形の性質を使ったね。

さらに、円周角の定理から面白いことがわかるよ。

どういうことですか？

$\angle \mathrm{ADB}$は弧$\mathrm{AB}$に対する円周角だよね。$(1)$で求めた$\angle \mathrm{ACB}$も同じ弧$\mathrm{AB}$に対する円周角だから...

あ！同じ弧に対する円周角だから$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ACB}=35°$ですね！

その通り！このように3つの定理はお互いに関連し合っているんだ。

検算としても使えるから覚えておこう。

実際に確認してみましょう。$\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ADB}+\angle \mathrm{BDC}$ ですが、

• $\angle \mathrm{ADB}=35°$（弧$\mathrm{AB}$に対する円周角 $= \angle \mathrm{ACB}$）

• $\angle \mathrm{BDC}$は弧$\mathrm{BC}$に対する円周角

ここで弧$\mathrm{BC}$に対する円周角は$\angle \mathrm{BAC}$とも等しいので、$\triangle \mathrm{ABC}$の内角から$\angle \mathrm{BAC}=180°-65°-35°=80°$と求められます。

よって$\angle \mathrm{BDC}=80°$となり、$\angle \mathrm{ADC}=35°+80°=115°$と別の方法でも確認できました。

ここでは円の性質を利用した角度の問題について学習しました。

この問題で使った定理をまとめておきましょう。

• $\textbf{接弦定理}$：接線と弦のなす角$=$弧に対する円周角

• $\textbf{円周角の定理}$：同じ弧に対する円周角は等しい

• $\textbf{円に内接する四角形}$：対角の和は$180°$

これらの定理は組み合わせて出題されることが多いので、どの条件が出てきたらどの定理を使うかを素早く判断できるように練習しておきましょう！