接弦定理

問題

下の図のように、直線$l$は円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{A}$における接線である。$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$は円周上の点で、$\angle \mathrm{BAl}=35°$とする。

$(1)\quad$ $\angle \mathrm{ACB}$を求めよ。

$(2)\quad$ $\angle \mathrm{AOB}$を求めよ。

解説

接弦定理について解説します。

「接弦定理」ってどういう定理ですか？

接線と弦がつくる角に関する定理だよ。

名前の通り「接線」と「弦」の「定理」ということだね。まず定理の内容を確認しよう！

接線と弦の角度が、円周角と同じになるんですね！

その通り！直感的には、接線は「円周上の点が限りなく近づいた弦」と考えることができるんだ。

だから接線と弦のなす角が円周角と等しくなるのも自然なことなんだよ。

それでは問題を解いていきましょう！

接弦定理をそのまま適用する問題です。

直線$l$は円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{A}$における接線で、$\mathrm{C}$は弧$\mathrm{AB}$（接弦角$\angle \mathrm{BAl}$の内部にある弧の反対側）に対する円周角の頂点です。

接弦定理より、

接弦定理を使えば、接線と弦のなす角がそのまま円周角になるから一発で求められるね！

$(1)$で$\angle \mathrm{ACB}=35°$がわかりました。次に中心角$\angle \mathrm{AOB}$を求めます。

円周角と中心角の関係を使えばいいんですね！

正解！円周角の定理を思い出そう。

円周角の定理より、中心角は同じ弧に対する円周角の$2$倍なので、

このように、接弦定理と円周角の定理を組み合わせることで、いろいろな角度を求めることができるよ。

接弦定理の逆はありますか？

いい質問だね！接弦定理の逆も成り立つよ。

接弦定理の逆は、「ある直線が円の接線であること」を証明するときに使えるよ。

直線と弦のなす角が円周角に等しいことを示せば、その直線は接線だと言えるんだ。

ここでは接弦定理について学習しました。

接弦定理のポイントは、

• 接線と弦のなす角は、その弧に対する円周角に等しい

• 円周角の定理と組み合わせることで中心角も求められる

• 逆も成り立ち、接線であることの証明に使える

の3つです。円の性質に関する問題では頻出なので、しっかり覚えておきましょう！