正多面体の種類と性質

問題

正多面体について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ 正多面体を$5$種類全て挙げ、それぞれの面の形、面の数、辺の数、頂点の数を答えよ。

$(2)\quad$ 正十二面体について、オイラーの多面体定理 $V-E+F=2$ が成り立つことを確認せよ。

$(3)\quad$ 各面が正三角形である正多面体を全て挙げよ。

解説

正多面体の種類と性質について解説します。

正多面体ってどんな立体ですか？

正多面体とは、全ての面が合同な正多角形で、各頂点に集まる面の数も全て等しい凸多面体のことだよ。

実は正多面体は$5$種類しかないことが知られているんだ。

$5$種類しかないんですね！なぜですか？

各頂点に集まる正多角形の内角の和が$360°$未満でないと立体にならないからだよ。

例えば正六角形の内角は$120°$で、$3$枚集めると$360°$ちょうどになって平面になってしまうんだ。

この条件を満たす組み合わせが$5$通りしかないんだね。

それでは例題を解いていきましょう。

まず、各正多面体の面の形と面の数を整理しよう。辺と頂点の数は、面の情報から計算できるよ。

辺の数と頂点の数の求め方を説明します。各面が正$p$角形で面の数が$F$のとき、

• 辺の数 $E$：各面に$p$本の辺があるが、$1$本の辺は$2$つの面で共有されるので $\displaystyle E=\frac{pF}{2}$

• 頂点の数 $V$：各面に$p$個の頂点があり、各頂点に$q$個の面が集まるので $\displaystyle V=\frac{pF}{q}$

「各頂点に$q$個の面が集まる」というのは、例えば立方体だとどうなりますか？

立方体（正六面体）では、各頂点に正方形が$3$枚集まっているよ。だから$q=3$だね。

立方体の場合、$p=4$（正方形）、$F=6$、$q=3$なので、$E=\frac{4 \times 6}{2}=12$、$V=\frac{4 \times 6}{3}=8$となるよ。

$5$種類の正多面体の面の形と各頂点に集まる面の数を整理し、辺と頂点の数を求めましょう。

この表は丸暗記しなくても大丈夫！面の形と$q$の値を覚えておけば、辺と頂点の数は計算できるよ。

正十二面体は$V=20$、$E=30$、$F=12$なので、

よってオイラーの多面体定理が成り立つことが確認できました。

他の正多面体でも成り立ちますか？

もちろん！全ての凸多面体で成り立つよ。先ほどの表の$5$つの正多面体で確認してみると、どれも$V-E+F=2$になるはずだよ。

先ほどの表を見ると、面の形が正三角形であるものは、

• 正四面体（各頂点に$3$枚の正三角形が集まる）

• 正八面体（各頂点に$4$枚の正三角形が集まる）

• 正二十面体（各頂点に$5$枚の正三角形が集まる）

の$3$つです。

各頂点に$6$枚以上の正三角形が集まることはないんですか？

いい質問だね！正三角形の内角は$60°$だから、$6$枚集めると$60° \times 6=360°$で平面になってしまうんだ。

だから各頂点に正三角形が集まるのは$3$枚、$4$枚、$5$枚の$3$通りだけだよ。

よって答えは$\underline{\text{正四面体、正八面体、正二十面体}}$です。

ここでは正多面体の種類と性質について学習しました。

正多面体は正四面体・正六面体（立方体）・正八面体・正十二面体・正二十面体の$5$種類のみ存在します。

各正多面体の面の形と面・辺・頂点の数の関係、オイラーの多面体定理 $V-E+F=2$ をしっかり押さえておきましょう！