方べきで線分の積が等しくなるのはなぜ？

方べきの定理では、図形の性質について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

2つの弦が交わるとき、どの長さ同士を掛けるの？

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方べきの定理を使う場面の見分け方は？

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方べきの定理の解き方 | 数学Aの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

方べきの定理の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 円と線分の積の関係
ポイント: 図形の性質の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

円 $O$ の2つの弦 $\mathrm{AB}$ 、 $\mathrm{CD}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わるとき、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ $\mathrm{PA}=3$ 、 $\mathrm{PB}=4$ 、 $\mathrm{PC}=2$ のとき、 $\mathrm{PD}$ を求めよ。

$(2)\quad$ 円の外部の点 $\mathrm{Q}$ から円に引いた割線が円と2点 $\mathrm{A}$ 、 $\mathrm{B}$ で交わり、 $\mathrm{QA}=2$ 、 $\mathrm{AB}=4$ である。点 $\mathrm{Q}$ から円に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とするとき、 $\mathrm{QT}$ を求めよ。

答えを見る

$(1)\;$ $\mathrm{PD}=\underline{6}$

$(2)\;$ $\mathrm{QT}=\underline{2\sqrt{3}}$

解説

方べきの定理について解説します。

「方べき」ってどういう意味ですか？

「方べき」とは「点の冪（べき）」という意味で、円と点の位置関係から決まる一定の値のことだよ。

円に関する線分の積が一定になるという性質を表しているんだ。

方べきの定理には3つのパターンがあります。順番に見ていきましょう。

方べきの定理（3つのパターン）

\textcolor{red}{\text{パターン1：2弦が円内で交わる場合}}

2つの弦 $\mathrm{AB}$ 、 $\mathrm{CD}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わるとき

\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}

\textcolor{red}{\text{パターン2：2割線が円外で交わる場合}}

円外の点 $\mathrm{P}$ から2つの割線を引き、円との交点を $\mathrm{A, B}$ および $\mathrm{C, D}$ とするとき

\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}

\textcolor{red}{\text{パターン3：接線と割線の場合}}

円外の点 $\mathrm{P}$ から接線と割線を引き、接点を $\mathrm{T}$ 、割線と円の交点を $\mathrm{A, B}$ とするとき

\mathrm{PT}^2 = \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}

それぞれのパターンを図で確認しよう！

【パターン1：2弦が円内で交わる場合】

\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}

【パターン2：2割線が円外で交わる場合】

\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}

【パターン3：接線と割線の場合】

\mathrm{PT}^2 = \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}

3つもパターンがあって覚えられるか心配です...

大丈夫！実は3つとも本質は同じで、「線分の積が一定」ということなんだ。

パターン3は接線だから同じ点 $\mathrm{T}$ を2回通ると考えれば、 $\mathrm{PT} \cdot \mathrm{PT} = \mathrm{PT}^2$ となるんだよ。

それでは問題を解いていきましょう！

$(1)\quad$ $\mathrm{PA}=3$ 、 $\mathrm{PB}=4$ 、 $\mathrm{PC}=2$ のとき、 $\mathrm{PD}$ を求めよ。

これはパターン1（2弦が円内で交わる場合）ですね。

方べきの定理より、

\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}

数値を代入すると、

3 \times 4 = 2 \times \mathrm{PD}

12 = 2 \times \mathrm{PD}

\mathrm{PD} = \underline{6}

積の形で等式が成り立つことがポイントだね！

これはパターン3（接線と割線の場合）です。

まず $\mathrm{QB}$ を求めます。

\mathrm{QB} = \mathrm{QA} + \mathrm{AB} = 2 + 4 = 6

方べきの定理より、

\mathrm{QT}^2 = \mathrm{QA} \cdot \mathrm{QB}

数値を代入すると、

\mathrm{QT}^2 = 2 \times 6 = 12

\mathrm{QT} = \sqrt{12} = \underline{2\sqrt{3}}

接線の長さが求められるのは便利ですね！

そうだね！接線の長さを直接求めるのは難しいけど、方べきの定理を使えば割線の長さから計算できるんだ。

これは入試でもよく出題されるパターンだよ。

円周角の定理と三角形の相似を組み合わせて証明できるんだ。

他のパターンも同様に相似を使って証明できるよ。

このページのまとめ

ここでは方べきの定理について学習しました。

方べきの定理は、

2弦が円内で交わる場合

2割線が円外で交わる場合

接線と割線の場合

の3パターンがありますが、いずれも「線分の積が等しい」という形になっています。

特に接線の長さを求める問題でよく使われるので、しっかり練習しておきましょう！

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