三角形の垂心

問題

三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は1点で交わる。この交点を三角形の$\textcolor{red}{\text{垂心}}$という。次の三角形の垂心の座標を求めよ。

$(1)\quad$ $\mathrm{A}(0, 6)$、$\mathrm{B}(0, 0)$、$\mathrm{C}(8, 0)$

$(2)\quad$ $\mathrm{A}(1, 5)$、$\mathrm{B}(-1, 1)$、$\mathrm{C}(5, 1)$

解説

三角形の垂心について解説します。

垂心ってなんですか？

垂心とは、三角形の各頂点から対辺（またはその延長）に下ろした$\textcolor{red}{\text{垂線の交点}}$のことだよ。

三角形の五心（外心・内心・重心・垂心・傍心）の1つだね。

上の図のように、各頂点から対辺に垂線を下ろすと、3本の垂線は必ず1点$\mathrm{H}$で交わります。この点$\mathrm{H}$が垂心です。

直角三角形のとき垂心が直角の頂点になるのはどうしてですか？

直角の頂点を$\mathrm{B}$とすると、$\mathrm{BA} \perp \mathrm{BC}$だよね。

つまり辺$\mathrm{BA}$は$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線であり、辺$\mathrm{BC}$は$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{BA}$に下ろした垂線になるんだ。

だから垂線が全て$\mathrm{B}$を通るので、垂心は$\mathrm{B}$そのものになるよ！

それでは問題を解いていきましょう。

まず、この三角形がどんな形をしているか確認します。

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はともに$x$座標が$0$なので辺$\mathrm{AB}$は$y$軸上にあるね。

また$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$はともに$y$座標が$0$なので辺$\mathrm{BC}$は$x$軸上にある。

つまり$\mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}$だから、頂点$\mathrm{B}$で直角になっているよ！

辺$\mathrm{AB}$は$y$軸（$x=0$）上にあり、辺$\mathrm{BC}$は$x$軸（$y=0$）上にあるので、$\angle \mathrm{B} = 90°$の直角三角形です。

先ほど確認した性質より、直角三角形の垂心は直角の頂点と一致するので、

垂心$\mathrm{H}$の座標は$\underline{(0,\, 0)}$（頂点$\mathrm{B}$と一致）です。

直角三角形だと分かれば計算しなくても求められるんですね！

その通り！でも念のため、垂線を使って確認してみよう。

【確認】$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を求めてみます。

辺$\mathrm{AC}$の傾きは$\dfrac{0-6}{8-0} = -\dfrac{3}{4}$なので、これに垂直な直線の傾きは$\dfrac{4}{3}$です。

$\mathrm{B}(0, 0)$を通る傾き$\dfrac{4}{3}$の直線は$y = \dfrac{4}{3}x$です。

一方、$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線は、$\mathrm{AB}$が$x=0$（$y$軸）なので、$\mathrm{C}$を通り$x$軸に平行な直線$y = 0$です。

これら2本の交点：$y = \dfrac{4}{3}x$と$y = 0$を連立すると$x = 0, \, y = 0$。

確かに垂心は$(0, 0)$、つまり頂点$\mathrm{B}$と一致することが確認できました。

今度は一般的な（直角でない）三角形だよ。垂線を2本求めてその交点を出そう！

垂心を求めるには、2本の垂線の方程式を求めてその交点を計算します。

垂線(1): $\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線

辺$\mathrm{AC}$の傾きは

垂直な直線の傾きは$1$（傾きの積が$-1$になる）なので、$\mathrm{B}(-1, 1)$を通る直線は

垂線(2): $\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線

辺$\mathrm{AB}$の傾きは

垂直な直線の傾きは$-\dfrac{1}{2}$なので、$\mathrm{C}(5, 1)$を通る直線は

交点の計算

①と②を連立します。

①に代入して$y = 1 + 2 = 3$。

よって、垂心$\mathrm{H}$の座標は$\underline{(1,\, 3)}$です。

検算として、3本目の垂線（$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$への垂線）も$\mathrm{H}$を通るか確認してみよう！

辺$\mathrm{BC}$の傾きは$\dfrac{1-1}{5-(-1)} = 0$なので、辺$\mathrm{BC}$は水平（$y = 1$）です。

したがって、$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$への垂線は$\mathrm{A}(1, 5)$を通る鉛直線$x = 1$です。

$\mathrm{H}(1, 3)$の$x$座標は$1$なので、確かに垂線$x = 1$上にあります。

3本目の垂線もちゃんと$\mathrm{H}$を通りますね！検算になっていて安心です。

垂心の問題では、2本の垂線の交点を出した後に3本目で検算するクセをつけると、計算ミスを防げるよ！

ここでは三角形の垂心について学習しました。

垂心は$\textcolor{red}{\text{各頂点から対辺に下ろした垂線の交点}}$です。

直角三角形の場合は垂心が直角の頂点と一致するという性質を覚えておくと、素早く答えを出せます。

一般の三角形では、2本の垂線の方程式を求めて連立すれば垂心が求められます。3本目の垂線で検算することも忘れずに！