メネラウスの定理

問題

$\triangle \mathrm{ABC}$において、辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$、辺$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする。直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{AB}$の延長との交点を$\mathrm{R}$とするとき、$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ。

解説

メネラウスの定理について解説します。

メネラウスの定理ってなんですか？

三角形の辺（またはその延長）上の3点が一直線上にあるときに成り立つ定理だよ。

比の問題を解くときにとても便利なんだ。

まずは定理を確認しましょう。

3つの比を掛け合わせると$1$になるんですね！

その通り！順番を覚えるコツがあるよ。

三角形の頂点を$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{A}$と一周するように辿りながら、各辺上の点を通過するイメージで考えるといいよ。

それでは問題を解いていきましょう。

問題の条件を整理しましょう。

• $\mathrm{P}$は辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分 → $\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=2:3$

• $\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分 → $\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=1:2$

• $\mathrm{R}$は辺$\mathrm{AB}$の延長上（$\mathrm{A}$の外側）にある

$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$は直線$\mathrm{PQ}$上にあるから、メネラウスの定理が使えるね。

メネラウスの定理より、

ここに条件の値を代入します。

$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}$について解けばいいんですね！

その通りです。計算すると、

よって、$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=3:1$となります。

$\mathrm{R}$は辺$\mathrm{AB}$の延長上にあるんですよね。

これは外分ということですか？

その通り！問題文に「延長との交点」と書いてあるから、$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$の外側にあるね。

つまり点$\mathrm{R}$は$\mathrm{AB}$を$3:1$に外分する点ということだよ。

答えは$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=\underline{3:1}$（外分）となります。

ちなみに、メネラウスの定理の逆も重要だよ。

3点が一直線上にあることを示すときに使えるんだ。

ここではメネラウスの定理について学習しました。

三角形の辺の比を求める問題では、メネラウスの定理やチェバの定理が非常に有効です。

どちらの定理を使うかは、「3点が一直線上にあるか」「3直線が1点で交わるか」で判断しましょう！