円に内接する四角形

問題

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において、$\mathrm{AB}=3$、$\mathrm{BC}=5$、$\angle \mathrm{ABC}=120°$とする。

$(1)\quad$ $\angle \mathrm{ADC}$を求めよ。

$(2)\quad$ 対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ。

解説

円に内接する四角形の性質について解説します。

「円に内接する四角形」ってどういう意味ですか？

四角形の4つの頂点がすべて1つの円の円周上にあるとき、その四角形は「円に内接する」というんだよ。

このとき、四角形の角度には特別な関係が成り立つんだ。

対角の和が$180°$になるのはどうしてですか？

円周角の定理を使うと説明できるよ。

$\angle \mathrm{B}$は弧$\mathrm{ADC}$に対する円周角、$\angle \mathrm{D}$は弧$\mathrm{ABC}$に対する円周角だよね。

弧$\mathrm{ADC}$と弧$\mathrm{ABC}$を合わせると円全体（$360°$）になるから、それぞれの円周角の和は$\frac{360°}{2}=180°$になるんだ。

それでは問題を解いていきましょう！

四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しているので、対角の和が$180°$という性質を使います。

$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{D}$は対角の関係にあるので、

対角の和が$180°$を使うだけだね。シンプルだけどとても大切な性質だよ！

辺の長さと角度がわかっている$\triangle \mathrm{ABC}$で余弦定理を使いましょう。

$\triangle \mathrm{ABC}$において、$\mathrm{AB}=3$、$\mathrm{BC}=5$、$\angle \mathrm{ABC}=120°$なので、余弦定理より

$\mathrm{AC} > 0$より、$\mathrm{AC}= \underline{7}$

$\cos 120° = -\frac{1}{2}$で、マイナスだから引き算がプラスに変わるんですね！

その通り！鈍角の余弦はマイナスになるから、符号に気を付けてね。

ここで$(1)$の結果を確認してみよう。$\angle \mathrm{ADC}=60°$なので、もし辺$\mathrm{CD}$と$\mathrm{DA}$の長さがわかっていれば、$\triangle \mathrm{ACD}$でも余弦定理を使って$\mathrm{AC}$が求められるよ。

続いて、円に内接する四角形に関する有名な定理を紹介します。

対角線の積が対辺の積の和に等しいって、すごいきれいな関係ですね！

そうだね！トレミーの定理を使えば、4辺の長さと1つの対角線の長さがわかっている場合に、もう1つの対角線の長さを求めることができるよ。

入試でもたまに出題されるので、ぜひ覚えておこう。

例えば、今回の問題で$\mathrm{CD}=4$、$\mathrm{DA}=6$がわかっていたとすると、トレミーの定理より

のようにして、もう1つの対角線$\mathrm{BD}$の長さを求められます。

ここでは円に内接する四角形の性質について学習しました。

• 対角の和は$180°$（$\angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{D} = 180°$）

• 外角は内対角に等しい

• トレミーの定理：$\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DA}$

これらの性質は余弦定理と組み合わせて出題されることが多いので、しっかり練習しておきましょう！