円周角の定理

問題

下の図において、$\angle x$の大きさを求めよ。

点Oは円の中心で、中心角$\angle \mathrm{AOB}=70°$である。

解説

円周角の定理について解説します。

円周角って何ですか？

円周角とは、円周上の1点から、同じ円周上の2点を結んでできる角のことだよ。

図で説明するね。

図のように、弧ABに対して、円周上の点Pから点A, Bに線を引いたときにできる$\angle$APBが円周角です。

一方、円の中心Oから点A, Bに引いた線でできる$\angle$AOBを$\textcolor{red}{中心角}$といいます。

円周上のどこに点をとっても、同じ弧に対する円周角は同じなんですね！

その通り！これが円周角の定理の重要なポイントだよ。

それでは例題を解いていきましょう。

この問題では、中心角と円周角の関係を使います。

円周角は中心角の半分だったよね。この関係を使おう！

図において、中心角が$70°$なので、同じ弧に対する円周角$x$は

となります。

ここで、円周角の定理の特別な場合について紹介しておきます。

なぜ$90°$になるんですか？

半円の弧に対する中心角は$180°$だよね。

円周角は中心角の半分だから、$\frac{180°}{2} = 90°$になるんだ。

最後に、円周角の定理の逆について確認しておきましょう。

この定理の逆は、4点が同一円周上にあることを示すときによく使うよ。

「共円」や「円に内接する四角形」の問題で登場するから覚えておこう！

ここでは円周角の定理について学習しました。

円周角の定理は図形問題で頻出なので、以下のポイントをしっかり押さえておきましょう。

• 同じ弧に対する円周角は全て等しい

• 円周角は中心角の半分

• 半円の弧（直径）に対する円周角は$90°$

• 円周角が等しい$\Rightarrow$4点が同一円周上（逆）

色々な問題を解いて練習してくださいね！