3辺だけで面積を出す公式はどうして使えるの？

三角形の面積と内接円・外接円では、図形の性質について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

内接円の半径 r は面積とどうつながるの？

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ヘロンの公式を使うタイミングはいつ？

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三角形の面積と内接円・外接円の解き方 | 数学Aの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角形の面積と内接円・外接円の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 面積と半径の関係
ポイント: 図形の性質の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$(1)\quad$ $3$ 辺の長さが $a=5$ 、 $b=6$ 、 $c=7$ の三角形の面積 $S$ と内接円の半径 $r$ を求めよ。

$(2)\quad$ $3$ 辺の長さが $3$ 、 $4$ 、 $5$ の直角三角形の内接円の半径 $r$ を求めよ。

答えを見る

$(1)\;$ $S=\underline{6\sqrt{6}}$ 、 $r=\underline{\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}$

$(2)\;$ $r=\underline{1}$

解説

三角形の面積と内接円・外接円の半径の関係について解説します。

三角形の面積って底辺×高さ÷ $2$ 以外にも求め方があるんですか？

いい質問だね！ $3$ 辺の長さだけがわかっている場合、高さを直接求めるのは大変だよね。

そんなときに使える便利な公式がいくつかあるんだ。まとめて紹介するよ！

面積の公式 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ ってどうやって導くんですか？

内心 $\mathrm{I}$ と $3$ つの頂点を結ぶと、三角形が $3$ つに分割されるよね。

それぞれの三角形の高さが内接円の半径 $r$ になるから、面積の合計が $\frac{1}{2}ra + \frac{1}{2}rb + \frac{1}{2}rc = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ になるんだ。

それでは問題を解いていこう！

$(1)\quad$ $3$ 辺の長さが $a=5$ 、 $b=6$ 、 $c=7$ の三角形の面積 $S$ と内接円の半径 $r$ を求めよ。

まず、ヘロンの公式を使って面積 $S$ を求めましょう。

s = \dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{5+6+7}{2} = 9

ヘロンの公式に代入すると、

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

= \sqrt{9 \times (9-5) \times (9-6) \times (9-7)}

= \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2}

= \sqrt{216}

= \sqrt{36 \times 6}

= \underline{6\sqrt{6}}

面積が求められたね！次は内接円の半径 $r$ を求めよう。 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ を使うよ。

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ より、

6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \times r \times (5+6+7)

6\sqrt{6} = \frac{1}{2} \times r \times 18

6\sqrt{6} = 9r

r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \underline{\frac{2\sqrt{6}}{3}}

ヘロンの公式で面積を出してから、内接円の公式に代入するんですね！

その通り！ $3$ 辺の長さがわかっていれば、この $2$ ステップで内接円の半径が求められるよ。

$(2)\quad$ $3$ 辺の長さが $3$ 、 $4$ 、 $5$ の直角三角形の内接円の半径 $r$ を求めよ。

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ より、これは $3$ 辺 $3$ 、 $4$ 、 $5$ の直角三角形です。

直角三角形だから、面積は簡単に出せるよね。

まず面積 $S$ を求めます。直角をはさむ $2$ 辺を底辺と高さとして、

S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6

次に $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ に代入します。

6 = \frac{1}{2} \times r \times (3+4+5)

6 = \frac{1}{2} \times r \times 12

6 = 6r

r = \underline{1}

きれいに $r=1$ になりましたね！

そうだね！ちなみに、直角三角形の内接円の半径には次の公式も使えるよ。

この公式なら面積を経由しなくても一発で求められますね！

直角三角形の場合はこの公式を使うと楽だよ。

でも一般の三角形では使えないから、 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ の公式は必ず覚えておこうね。

外接円の公式 $S = \frac{abc}{4R}$ はどうやって使うんですか？

この公式は正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ から導けるんだ。面積 $S$ と $3$ 辺がわかっていれば外接円の半径 $R$ が求められるよ。

たとえば $(1)$ の三角形なら $R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ となるよ。

このページのまとめ

ここでは三角形の面積と内接円・外接円の半径の関係について学習しました。

ヘロンの公式： $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ （ $s = \frac{a+b+c}{2}$ ）

内接円の半径： $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ → $r = \frac{2S}{a+b+c}$

外接円の半径： $S = \frac{abc}{4R}$ → $R = \frac{abc}{4S}$

$3$ 辺の長さから面積を求め、さらに内接円・外接円の半径を求める流れは入試でも頻出です。

ぜひ練習して使いこなせるようにしましょう！

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