オイラーの多面体定理は何を表しているの？

オイラーの多面体定理では、図形の性質について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

頂点・辺・面の数の関係式をどう使うの？

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正多面体が5種類しかない理由にどうつながるの？

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オイラーの多面体定理の解き方 | 数学Aの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

オイラーの多面体定理の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

正多面体と $V-E+F=2$の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 正多面体と $V-E+F=2$
ポイント: 図形の性質の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

オイラーの多面体定理に関して、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ ある凸多面体の頂点の数が $8$ 、面の数が $6$ であるとき、辺の数を求めよ。

$(2)\quad$ 正二十面体の頂点の数が $12$ 、辺の数が $30$ 、面の数が $20$ であることを用いて、オイラーの多面体定理が成り立つことを確認せよ。

$(3)\quad$ 正多面体が $5$ 種類しかないことを、オイラーの多面体定理を用いて説明せよ。

答えを見る

$(1)\;$ $E=\underline{12}$

$(2)\;$ $V-E+F=12-30+20=\underline{2}$ 　（成り立つ）

$(3)\;$ 正多面体の各面が正 $p$ 角形で、各頂点に $q$ 個の面が集まるとすると、 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}$ を満たす $(p,q)$ の組は $(3,3)$ , $(3,4)$ , $(3,5)$ , $(4,3)$ , $(5,3)$ の $\underline{5}$ 通りに限られる。

解説

空間図形に関する重要な定理である「オイラーの多面体定理」について解説します。

オイラーの多面体定理ってなんですか？

凸多面体の頂点・辺・面の数の間に成り立つ美しい関係式だよ。

まずは定理を確認しよう。

どんな凸多面体でも成り立つんですか？

そうだよ。立方体でも正四面体でも、穴の開いていない凸多面体なら必ず成り立つんだ。

具体的に確認してみよう！

正多面体は全部で $5$ 種類あります。それぞれの頂点・辺・面の数を表にまとめましょう。

\large \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{正多面体} & V\text{(頂点)} & E\text{(辺)} & F\text{(面)} & V-E+F \\ \hline \text{正四面体} & 4 & 6 & 4 & 2 \\ \hline \text{正六面体} & 8 & 12 & 6 & 2 \\ \hline \text{正八面体} & 6 & 12 & 8 & 2 \\ \hline \text{正十二面体} & 20 & 30 & 12 & 2 \\ \hline \text{正二十面体} & 12 & 30 & 20 & 2 \\ \hline \end{array}

本当にどれも $V-E+F=2$ になっていますね！

そうだね。正多面体に限らず、全ての凸多面体でこの関係が成り立つよ。

それでは例題を解いていこう！

$(1)\quad$ ある凸多面体の頂点の数が $8$ 、面の数が $6$ であるとき、辺の数を求めよ。

オイラーの多面体定理に当てはめてみよう。

$V=8$ 、 $F=6$ をオイラーの多面体定理 $V-E+F=2$ に代入すると、

8-E+6=2

14-E=2

E=\underline{12}

これは立方体（正六面体）のことですね！

その通り！頂点 $8$ 、面 $6$ は立方体の特徴だね。

$(2)\quad$ 正二十面体の頂点の数が $12$ 、辺の数が $30$ 、面の数が $20$ であることを用いて、オイラーの多面体定理が成り立つことを確認せよ。

$V=12$ 、 $E=30$ 、 $F=20$ を $V-E+F$ に代入すると、

V-E+F=12-30+20=\underline{2}

よってオイラーの多面体定理が成り立つことが確認できました。

ちなみに正二十面体は $20$ 個の正三角形でできているよ。各頂点に $5$ 個の正三角形が集まっているんだ。

$(3)\quad$ 正多面体が $5$ 種類しかないことを、オイラーの多面体定理を用いて説明せよ。

正多面体が $5$ 種類だけというのは、どうやって示すんですか？

正多面体の条件を整理して、オイラーの多面体定理と組み合わせるよ。

まず、正多面体とは何かを確認しよう。

各面が正 $p$ 角形（ $p \geqq 3$ ）で、各頂点に $q$ 個（ $q \geqq 3$ ）の面が集まるとします。

このとき、頂点・辺・面の数の間に以下の関係が成り立ちます。

面の数を $F$ とすると、辺の総数は $\displaystyle E=\frac{pF}{2}$ （各面に $p$ 本の辺があり、各辺は $2$ つの面で共有）

頂点の総数は $\displaystyle V=\frac{pF}{q}$ （各面に $p$ 個の頂点があり、各頂点は $q$ 個の面で共有）

これをオイラーの多面体定理 $V-E+F=2$ に代入すると、

\displaystyle \frac{pF}{q}-\frac{pF}{2}+F=2

両辺を $F$ で割って（ $F>0$ ）整理すると、

\displaystyle \frac{p}{q}-\frac{p}{2}+1=\frac{2}{F}

$F>0$ より右辺 $\displaystyle\frac{2}{F}>0$ なので、

\displaystyle \frac{p}{q}-\frac{p}{2}+1>0

両辺を $p$ で割り、整理すると

\displaystyle \frac{1}{q}-\frac{1}{2}+\frac{1}{p}>0

よって、

\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}

ここがポイントだよ。 $p \geqq 3$ 、 $q \geqq 3$ のもとで $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}$ を満たす組を全て探せばいいんだ。

$p \geqq 3$ 、 $q \geqq 3$ の条件のもとで、 $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}$ を満たす $(p,q)$ を調べましょう。

$p \geqq 6$ のとき、 $\displaystyle\frac{1}{p} \leqq \frac{1}{6}$ なので $\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q} \leqq \frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ となり条件を満たしません。

同様に $q \geqq 6$ のときも不適です。

よって $3 \leqq p \leqq 5$ 、 $3 \leqq q \leqq 5$ の範囲で調べればよく、条件を満たす組は次の $5$ つです。

\large \begin{array}{|c|c|c|}\hline (p, q) & \frac{1}{p}+\frac{1}{q} & \text{正多面体} \\ \hline (3, 3) & \frac{2}{3} & \text{正四面体} \\ \hline (3, 4) & \frac{7}{12} & \text{正八面体} \\ \hline (3, 5) & \frac{8}{15} & \text{正二十面体} \\ \hline (4, 3) & \frac{7}{12} & \text{正六面体} \\ \hline (5, 3) & \frac{8}{15} & \text{正十二面体} \\ \hline \end{array}

なるほど！条件を満たす組が $5$ つしかないから、正多面体は $5$ 種類しかないんですね！

その通り！ $(p,q)=(3,3)$ は正三角形が各頂点に $3$ つ集まる正四面体、 $(4,3)$ は正方形が $3$ つ集まる正六面体（立方体）という具合だね。

ちなみに $(p,q)=(6,3)$ のとき $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ でちょうど等号が成り立つけど、これは正六角形 $3$ 枚の内角の和が $120° \times 3 = 360°$ になって平面になってしまうんだ。だから立体にならないよ。

このページのまとめ

ここではオイラーの多面体定理 $V-E+F=2$ と、正多面体が $5$ 種類しかないことを学習しました。

オイラーの多面体定理は凸多面体の頂点・辺・面の数の間に成り立つ基本的な関係式で、空間図形の問題で幅広く使えます。

正多面体の種類と各面体の頂点・辺・面の数もしっかり覚えておきましょう！

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