チェバの定理

問題

三角形$ABC$の辺$BC$, $CA$, $AB$上にそれぞれ点$D$, $E$, $F$をとる。$3$直線$AD$, $BE$, $CF$が$1$点で交わるとき、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ $AF:FB=2:1$, $BD:DC=3:4$のとき、$CE:EA$を求めよ。

$(2)\quad$ $AF:FB=1:3$, $CE:EA=2:1$のとき、$BD:DC$を求めよ。

解説

チェバの定理について解説します。

チェバの定理ってなんですか？

三角形の各頂点から対辺に引いた$3$本の線分が$1$点で交わるときに成り立つ関係式だよ。

まずは定理を確認しよう。

この公式、どうやって覚えればいいですか？

頂点$A$から始めて、$A \to F \to B \to D \to C \to E \to A$と三角形を一周するイメージだよ。

各辺を「前の点から次の点へ」の向きで比をとっていくんだ。

逆に、この等式が成り立てば$3$直線が$1$点で交わることも言えます（チェバの定理の逆）。

それでは例題を解いていきましょう。

チェバの定理をそのまま使えばOKだよ。

チェバの定理より

ここで$AF:FB=2:1$より$\displaystyle\frac{AF}{FB}=\frac{2}{1}=2$

$BD:DC=3:4$より$\displaystyle\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}$

これらを代入すると

よって $CE:EA=\underline{2:3}$

比を分数に直して代入するだけですね！

その通り！計算はシンプルだから、公式を正確に覚えておくことが大切だね。

同様にチェバの定理を使います。

$AF:FB=1:3$より$\displaystyle\frac{AF}{FB}=\frac{1}{3}$

$CE:EA=2:1$より$\displaystyle\frac{CE}{EA}=\frac{2}{1}=2$

これらを代入すると

よって $BD:DC=\underline{3:2}$

チェバの定理は、三角形の重心、内心、外心などが$1$点で交わることの証明にも使われるよ。

例えば重心の場合、各中線が対辺を$1:1$に分けるから、$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1$で確かに$1$点で交わるね。

ここではチェバの定理について学習しました。

チェバの定理は「三角形を一周する」ように$3$つの線分比の積をとると$1$になるという定理です。

メネラウスの定理と似ていますが、チェバは「$3$直線が$1$点で交わる」条件、メネラウスは「$3$点が一直線上にある」条件という違いがあります。

どちらも図形の比の問題で頻出なので、しっかり使い分けられるようにしておきましょう！